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直言三段论

Wikipedia · 2026-07-13 维基百科 👁 2 阅读

直言三段论是所有前提都是直言命题的演绎推理。前兩個命題被分别称为大前提和小前提。如果這個三段論是有效的，這兩個前提邏輯上蕴涵了最後的命題，它叫做結論。結論的真實性建立在前提的真實性和它們之間的聯繫之上：中項在前提中必須周延（distribute）至少一次，形成在結論中的主詞和謂词之間的連接。例如：

:所有生物都會死。
:所有人都是生物。
:所以，所有人都會死。

這裡的中項“生物”在大前提中周延，大項“會死者”在大前提和結論中都不周延，小項“人”在小前提和結論中周延；這個三段論符合周延規則：中項至少在一個前提中周延。一些直言三段論不是有效的，例如：

:所有鳥都有翅膀。
:所有人都不是鳥。
:所以，没有人有翅膀。

即使此例子的兩個前提和結論都是正確的，中項“鳥”在大前提和小前提中周延，大項“有翅膀”在結論中周延，小項“人”在小前提和結論中周延；此三段論卻是一種大項不當謬誤，將結論“沒有人有翅膀”理解為同樣表達的“所有人沒有翅膀”如此一來方便了解其中的谬误；此三段論不有效的原因是它不符合另一個周延規則：在結論中周延的詞項，在前提中也必須周延。在該三段論中大項“有翅膀”在結論被否定了，也就是說表達了人沒有“有翅膀”，大項在此周延，但在大前提中未周延，因為在大前提中“有翅膀”並沒有涉及該項的所有個體。

历史
亚里士多德在公元前350年左右的《前分析篇》中第一次系统阐述了三段论理论。他将三段论定义为「一种论证，在其中某些东西被设定后，由于它们如此，就必然得出另外不同的东西」。亚里士多德的理论主要针对包含三个直言命题的直言三段论，但也涉及模态三段论（包含「必然」、「可能」等模态词的命题）。

中世纪
波埃修斯（约475-526）将亚里士多德的逻辑学著作翻译为拉丁文并编写了教科书，使三段论理论得以在欧洲传承。彼得·阿伯拉尔（1079-1142）在其《辩证术》中对三段论概念进行了深入讨论，特别是在模态句的「de dicto」与「de re」区分方面作出了重要贡献。让·布里丹（约1300-1361）在其《推论论》和《辩证术纲要》中进一步拓展了三段论理论，此后近两百年间三段论逻辑没有重大变化。伊曼努尔·康德在其《逻辑学》（1800）中声称逻辑学已是完成科学，亚里士多德的三段论几乎包含了关于逻辑的一切知识。1879年，戈特洛布·弗雷格在《概念文字》中引入了谓词演算，用量词和变量表示范畴命题，最终以一阶逻辑取代了三段论作为逻辑学核心的地位。

与此同时，乔治·布尔在《思维规律的研究》（1854）中全面接受并扩展了亚里士多德逻辑，为其提供了方程形式的数学基础，并将可处理的问题从仅判定有效性扩展到求解方程。

语气和格式
圖，揭示傳統邏輯四種命題語氣的關係，紅色表示非空，黑色表示空。]]

三段論有如下典型形式：
:大前提：所有M是P。
:小前提：所有S是M。
:結論：所有S是P。
其中S代表結論的主詞（Subject），P代表結論的謂詞（Predicate），M代表中詞（Middle）。

三段論的命題可分為全称（universal）、特称（particular），及肯定、否定，組合起來有以下四類語氣（Mood）：
:

三段論中，結論中的謂詞稱作大詞（P，或稱大項），包含大詞在內的前提稱作大前提；結論中的主詞稱作小詞（S，或稱小項），包含小詞在內的前提稱作小前提；沒有出現在結論，卻在兩個前提重複出現的稱作中詞（M，或稱中項）。大詞、中詞、小詞依不同排列方式，可分成四種格（Figure）：
:

將以上整合在一起，三段論的大前提、小前提、結論分別可為A、E、I、O型命題之一，又可分為4格，故總共有256種三段論（若考慮大前提與小前提對調，便有512種，但邏輯上是相同的）。

三段論依語氣與格的分類縮寫，例如AAA-1（也可以寫成1-AAA）代表「大前提為A型，小前提為A型，結論為A型，第1格」的三段論。

此外，三段論的四種格之间可相互转换：

*第1格：对换大前提的主词和谓词的位置就变成第2格，对换小前提的主词和谓词的位置就变成第3格。
*第2格：对换大前提的主词和谓词的位置就变成第1格，对换小前提的主词和谓词的位置就变成第4格。
*第3格：对换大前提的主词和谓词的位置就变成第4格，对换小前提的主词和谓词的位置就变成第1格。
*第4格：对换大前提的主词和谓词的位置就变成第3格，对换小前提的主词和谓词的位置就变成第2格。

E和I命题对换主词和谓词的位置而保持同原命题等价。A命题和O命题不能对换主词和谓词的位置，但是可以采用直接推理中的“对置法”。A命题还可以在确实主词有元素存在的前提下，转换成弱于原命题的I命题后再对换主词和谓词的位置。

有效性
考虑各种直言三段论的有效性將是非常冗长耗時的。前人想出了三个可供选择的方法来找出有效性。方法之一是记住下一章节中列出的所有論式。

還可以通过构造文氏图的方法得到有效形式。

  • EAE（Cesare）

 没有P是M。

 所有S是M。

∴没有S是P。

\cfrac { \cfrac { \forall x(P(x)\rightarrow \lnot M (x))} {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x))} \qquad \begin{matrix} \quad \\ \forall x(S(x)\rightarrow M (x)) \end{matrix}}
{\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P (x))}

（EAE-2是EAE-1的等价形式。）

  • AOO（Baroco）

 所有P是M。

 有些S不是M。

∴有些S不是P。

\cfrac {\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M (x))}{\forall x(P(x)\rightarrow \lnot (\lnot M (x)))} } {\forall x((\lnot M(x)) \rightarrow \lnot P (x))} \quad \cfrac {\exists x(S(x)\land \lnot M (x))} {\exists x(S(x)\land (\lnot M (x)))}}
{\exists x(S(x) \land \lnot P (x))}

（这种形式还有其他推导方法。）

  • EIO（Festino）

 没有P是M。

 有些S是M。

∴有些S不是P。

\cfrac { \cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M (x))} {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x))} \qquad \begin{matrix} \quad \\ \exists x(S(x)\land M (x))\end{matrix}}
{\exists x(S(x) \land \lnot P (x))}

（EIO-2是EIO-1的等价形式。）

第3格

  • AAI（Darapti）

 所有M是P。

 所有M是S。

∴有些S是P。

（这种形式需要假定有些M确实存在。）

\cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \quad \\ \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow P (x)) \end{matrix} \ \cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow S (x))
\end{matrix} \quad \cfrac {\exist x M(x)}{\exist x (M(x) \land M(x))} } {\cfrac {\exist x (M(x)\land S(x))} {\exist x (S(x)\land M(x))}}}
{\exist x(S(x) \land P (x))}

  • EAO（Felapton）

 没有M是P。

 所有M是S。

∴有些S不是P。

（这种形式需要假定有些M确实存在。）

\cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \quad \\ \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x)) \end{matrix} \, \cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow S (x))
\end{matrix} \quad \cfrac {\exist x M(x)}{\exist x (M(x) \land M(x))} } {\cfrac {\exist x (M(x)\land S(x))} {\exist x (S(x)\land M(x))}}}
{\exist x(S(x) \land \lnot P (x))}

  • AII（Datisi）

 所有M是P。

 有些M是S。

∴有些S是P。

\cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow P (x)) \end{matrix} \qquad \cfrac {\exist x(M(x)\land S (x))} {\exist x(S(x)\land M (x))}}
{ \exists x(S(x) \land P (x))}

（AII-3是AII-1的等价形式。）

  • EIO（Ferison）

 没有M是P。

 有些M是S。

∴有些S不是P。

\cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x)) \end{matrix} \quad \cfrac {\exist x(M(x)\land S (x))} {\exist x(S(x)\land M (x))}}
{\exists x(S(x) \land \lnot P (x))}

（EIO-3是EIO-1的等价形式。）

  • IAI（Disamis）

 有些M是P。

 所有M是S。

∴有些S是P。

\cfrac {\cfrac {\cfrac {\exist x(M(x)\land P (x))}{\exist x(P(x)\land M(x))} \qquad \begin{matrix} \quad \\ \forall x (M(x)\rightarrow S (x)) \end{matrix}}{\forall x (M(x)\rightarrow S (x)) \qquad \exist x(P(x)\land M(x))}}
{\cfrac {\exists x(P(x) \land S (x))} {\exists x(S(x) \land P (x))}}

（IAI-3是IAI-4的等价形式。）

  • OAO（Bocardo）

 有些M不是P。

 所有M是S。

∴有些S不是P。

\cfrac {\cfrac { \cfrac {\exist x(M(x)\land \lnot P (x))}{\exist x((\lnot P(x))\land M (x))} \quad \begin{matrix} \quad \\ \forall x (M(x)\rightarrow S (x))\end{matrix}}{\forall x (M(x)\rightarrow S (x)) \quad \exist x((\lnot P(x))\land M (x))}}
{\cfrac {\exists x((\lnot P(x)) \land S (x))}{\exists x(S(x) \land \lnot P(x))}}

（这种形式还有其他推导方法。）

增补的论式
第4格由亞里士多德的學生泰奧弗拉斯托斯補充。

第4格

  • AAI（Bamalip）

 所有P是M。

 所有M是S。

∴有些S是P。

（这种形式需要假定有些P确实存在。）

\cfrac {\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M (x)) \qquad \forall x(M(x)\rightarrow S (x))}
{\forall x(M(x)\rightarrow S (x)) \qquad \forall x(P(x)\rightarrow M (x))}}
{\forall x(P(x)\rightarrow S (x))} \quad \cfrac {\exists x P(x)} {\exists x (P(x)\land P(x))}}
{\cfrac {\exists x(P(x) \land S (x))} {\exists x(S(x) \land P (x))}}

  • EAO（Fesapo）

 没有P是M。

 所有M是S。

∴有些S不是P。

（这种形式需要假定有些M确实存在。）

\cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \quad \\ \cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M (x))} {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x))} \end{matrix} \, \cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow S (x))
\end{matrix} \quad \cfrac {\exist x M(x)}{\exist x (M(x) \land M(x))} } {\cfrac {\exist x (M(x)\land S(x))} {\exist x (S(x)\land M(x))}}}
{\exist x(S(x) \land \lnot P (x))}

（EAO-4是EAO-3的等价形式。）

  • AEE（Calemes）

 所有P是M。

 没有M是S。

∴没有S是P。

\cfrac {\cfrac {\forall x( P(x)\rightarrow M (x)) \qquad \forall x(M(x)\rightarrow \lnot S (x))}
{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S (x)) \qquad \forall x( P(x)\rightarrow M (x))}}
{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S (x))}
{\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P (x))}}

  • EIO（Fresison）

 没有P是M。

 有些M是S。

∴有些S不是P。

\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M (x))}
{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x))} \qquad
\cfrac {\exists x(M(x)\land S (x))}
{\exists x(S(x)\land M (x))}}
{\exists x(S(x) \land \lnot P (x))}

（EIO-4是EIO-1的等价形式。）

  • IAI（Dimaris）

 有些P是M。

 所有M是S。

∴有些S是P。

\cfrac {\cfrac {\exists x( P(x)\land M (x)) \qquad \forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))}
{\forall x(M(x)\rightarrow \ S(x)) \qquad \exists x(P(x)\land M(x))}}
{\cfrac {\exists x(P(x) \land S(x))}
{\exists x(S(x) \land P(x))}}

结论弱化的论式
歷史上，AAI-3、EAO-3、AAI-4、EAO-4的拉丁語名字中有字母“p”，用来指示出这些论式通過引入了某个词项确实有元素存在的前提，将一个A命题弱化成了I命题。后人认为它們不是直言的即不是无条件的，这个问题被称为存在性引入问题。

在假定结论的主词确定有成员存在的前提下，可将论式中的结论A弱化为结论I，结论E弱化为结论O，它们也可以被增补为有效论式，从而得到所有可能的24有效论式。结论弱化论式有5个：AAI-1（Barbari），即弱化的AAA-1；EAO-1（Celaront），即弱化的EAE-1；AEO-2（Camestros），即弱化的AEE-2；EAO-2（Cesaro），即弱化的EAE-2；AEO-4（Calemos），即弱化的AEE-4。AAI-1的结论同于AII-1的结论，EAO-1、EAO-2的结论同于EIO-1的结论，AEO-2、AEO-4的结论同于AOO-2的结论，需要注意结论弱化论式原来的结论依然成立。

谓词演算公式的注解
按照布尔逻辑和集合代数的观点，三段论可以解释为：集合（类）\, S \,和集合\, M \,有某种二元关系，并且集合\, M \,和集合\, P \,有某种二元关系，从而推论出集合\, S \,和集合\, P \,是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种：

  • A（全称肯定）命题：所有\, M \,的元素是\, N \,的元素，确定了\, M \,“包含于”\, N \,的关系，\, M \,是\, N \,的子集，\, N \,是\, M \,的超集，这是一种偏序关系，\, L \,包含于\, M \,，並且\, M \,包含于\, N \,，則\, L \,包含于\, N \,。A命题允许两个推理方向，从元素属于\, M \,推出它属于\, N \,，从元素不属于\, N \,推出它不属于\, M \,。A命题确定了\, M \,减\, N \,的差集是空集。
  • E（全称否定）命题：所有\, M \,的元素不是\, N \,的元素，确定了\, M \,和\, N \,是“无交集”的关系，这是一种对称关系，\, M \,无交集于\, N \,，同于\, N \,无交集于\, M \,。E命题允许两个推理方向，从元素属于\, M \,推出它不属于\, N \,，从元素属于\, N \,推出它不属于\, M \,。E命题确定了\, M \,与\, N \,的交集是空集。
  • I（特称肯定）命题：有些\, M \,的元素是\, N \,的元素，确定了\, M \,和\, N \,是“有交集”的关系，这是一种对称关系，\, M \,有交集于\, N \,，同于\, N \,有交集于\, M \,。I命题确定了\, M \,与\, N \,的交集不是空集。
  • O（特称否定）命题：有些\, M \,的元素不是\, N \,的元素，确定了\, M \,“不包含于”\, N \,的关系。O命题确定了\, M \,减\, N \,的差集不是空集。

两个全称命题可以推出一个新的全称命题，一个全称命题和一个特称命题可以推出一个新的特称命题，两个特称命题无法推理。A命题可以和所有四种命题組合。E命题还可以和I命题組合，两个否定命题和IE组合，不能得出屬於四種命題之一的結論。故而有效的論式，要在AA、AE、EA、AI、IA、AO、OA、EI這8種組合乘以4種格，共32種情況中找出。

AA组合中AAA-1是直接推出的；第4格AA組合推论出谓词包含於主词的关系，这不是四种命题之一，只能在谓词确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。AE组合中AEE-4是直接推出的，EA组合中EAE-1是直接推出的。第3格AA組合和EA組合，在中項確定有元素存在的前提下，形成AAI-3和EAO-3。AAA-1、AAI-4、AAI-3没有等价者。通過對換其前提E命題中主詞和謂詞的位置，從AEE-4得出其等價者AEE-2，從EAE-1的得出其等價者EAE-2，從EAO-3得出其等價者EAO-4。

AII-1、IAI-4是直接推出的，通過對換其前提I命題中主詞和謂詞的位置，從AII-1得出其等價者AII-3，從IAI-4得出其等價者IAI-3。AOO-2和OAO-3在歷史上採用了反證法，这里采用了直接推理中的“对置法”，AOO-2、OAO-3沒有等價者。EIO-1是直接推出的，通過對換其前提E命题I命題中主詞和謂詞的位置，從EIO-1得出其等價者EIO-2、EIO-3、EIO-4。

24論式圖示
下表以文氏圖展示24個有效直言三段論，不同欄表示不同的前提，不同外框顏色表示不同的結論，需要存在性預設的推理以虛線與斜體字標示。

参见

  • 三段論
  • 直接推理
  • 传统逻辑
  • 谓词演算

註解
引用
Aristotle, Prior Analytics*. transl. Robin Smith（Hackett, 1989）ISBN 0-87220-064-7.
Blackburn, Simon, 1996. "Syllogism" in the Oxford Dictionary of Philosophy*. Oxford University Press. ISBN 0-19-283134-8.
Broadie, Alexander, 1993. Introduction to Medieval Logic*. Oxford University Press. ISBN 0-19-824026-0.
Irving Copi, 1969. Introduction to Logic*, 3rd ed. Macmillan Company.
Hamblin, Charles L., 1970. Fallacies*, Methuen : London, ISBN 0-416-70070-5. Cf. on validity of syllogisms: "A simple set of rules of validity was finally produced in the later Middle Ages, based on the concept of Distribution.“
Jan Łukasiewicz, 1987 (1957). Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic*. New York: Garland Publishers. ISBN 0824069242. OCLC 15015545.

外部連結
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#古希腊逻辑学 #推理规则

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