輻射轉移

輻射轉移（）是以電磁輻射形式進行能量轉移的物理現象。經由介質傳播的輻射會受到吸收、發射和散射的影響。輻射轉移方程式就是以數學方式描述這些交互作用。描述輻射轉移現象的方程式稱為輻射轉移方程式（，），它被廣泛應用在光學、天文物理學、大氣科學和遙測上。輻射轉移方程式在簡單狀況下存在解析解，但在實際狀況下常包含複雜的多重散射效應，此時必須使用數值方式求解。

輻射場
輻射轉移現象所描述的對象為輻射場（），而輻射場通常表達成（）關於位置 \mathbf{r}、方向 \hat{\mathbf{n}} 和時間 t 的的函數，寫成 I_\nu( \mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t)。

譜輻射率 I_\nu 的定義如下。考慮一個位於 \mathbf{r} 的單位面積 \operatorname{d}\!a，如果在單位時間 \operatorname{d}\!t 內，有輻射能量 \operatorname{d}\!E_\nu 從單位立體角 \operatorname{d}\!\Omega 流經單位面積 \operatorname{d}\!a，且頻率介於 \nu 和 \nu + {\operatorname{d}\!\nu} 這個區間之內（輻射的極化在這裡被忽略），則
:\operatorname{d}\!E_\nu = I_\nu(\mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t) \cos{\theta}\, {\operatorname{d}\!a}\,{\operatorname{d}\!\Omega}\,{\operatorname{d}\!t}\, {\operatorname{d}\!\nu}，
其中 \theta 是輻射的單位向量 \hat{\mathbf{n}} 和單位面積法向的夾角。譜輻射率的單位是以能量/(時間⋅面積⋅立體角⋅頻率)表示，在MKS单位制中，就是W·m-2·sr-1·Hz-1。

當一個區域內所有的點在所有方向上某一時刻的 I_\nu( \mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t) 都被指定，就構成一個輻射場。另外，譜輻射率為輻射度量學名詞，在傳統天文學領域常常稱為比強度（）。

輻射轉移方程式
輻射轉移方程式是譜輻射率的微分方程式。先考慮一維的情形，令 s 是沿著輻射路徑傳播的距離；假如輻射通過真空，則它的譜輻射率不隨著輻射傳遞而改變，於是有
:{\operatorname{d}\!{I_\nu}\over\operatorname{d}\!s}=0。
現在考慮輻射通介質，則有三種交互作用會導致輻射轉移：

• 因為吸收（）而失去能量
• 因為發射（）而獲得能量
• 因為散射（）而重新分配能量

所以輻射轉移方程式可寫為
:{\operatorname{d}\!{I_\nu}\over\operatorname{d}\!s}=j_\nu-\alpha_\nu I_\nu。
此處 j_\nu 是物質的譜發射係數，\alpha_\nu 是物質的譜衰減係數，而且可寫成 \alpha_\nu = \alpha_{\nu,{\rm a}} + \alpha_{\nu,{\rm s}}，下標裡的 a 與 s 分別表示與吸收和散射的成分。在天文物理學中，常引入光深度 \tau 的概念；對上式使用 \operatorname{d}\!\tau = \alpha \operatorname{d}\!s 進行變數變換，可得到
:{\operatorname{d}\!{I_\nu}\over\operatorname{d}\!\tau_\nu}=S_\nu-I_\nu，
其中 S_\nu \equiv j_\nu/\alpha_\nu 是。當所有頻率 \nu 的源函數都等於譜輻射率的時候，可得到 {\operatorname{d}\! I} / {\operatorname{d}\!s}=0，彷彿輻射是通過真空一樣，這就是輻射平衡（）條件。

如果考慮三維情形，輻射轉移方程式可寫為
:\left[\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} + \left(\hat{\mathbf{n}} \cdot \nabla\right)\right] I_\nu = j_\nu - (\alpha_{\nu, {\rm a}}+\alpha_{\nu, {\rm s}}) I_\nu + \frac{\alpha_{\nu,{\rm s}}}{4\pi} \int_\Omega I_\nu {\operatorname{d}\!\Omega}，
其中 c是光速。等式左邊的微分算子用法向導數取代了對 s 的導數，還納入了 I_\nu 的時間導數；等式右邊第三項考量的是從四面八方散射而來的輻射，故取 I_\nu 的角度平均。

輻射轉移方程式的解
求解輻射轉移方程式是非常耗力的工作。不過可以依據各種形式的吸收和發射係數，進行適當簡化。譬如說，如果將吸收和散射忽略，只考慮物質的發射，則一維輻射轉移方程式的通解可以寫成：
:I_\nu(s)=I_\nu(s_0)\,e^{-\tau(s_0,s)}+\int_{s_0}^s j_\nu(s')\,
e^{-\tau(s',s)}{\operatorname{d}\!s'}，
這裡的 \tau(s_1,s_2) 是兩個位置 s_1 和 s_2 中間介質的光深度：
:\tau(s_1,s_2) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{s_1}^{s_2} \alpha_\nu(s)\,ds。

局部熱力平衡
一個特別有用的輻射轉移方程式簡化是局部熱力平衡（，）狀態。這個狀態中，介質包含許多「局部」達到熱平衡的粒子，因此有一個可定義的溫度。但輻射場並非處在平衡狀態，並且是由大量存在的粒子驅動。在局部熱力平衡的介質中，發射係數和吸收係數只是溫度和密度函數，而且兩者的關係式為
:\frac{j_\nu}{\alpha_\nu}=B_\nu(T)，
其中 B_\nu(T) 是溫度 T 時的黑體輻射的譜輻射率（即普朗克黑體輻射定律）。此時，輻射轉移方程式的解為
:I_\nu(s)=I_\nu(s_0)e^{-\tau(s_0,s)}+\int_{s_0}^s B_\nu(T(s'))\alpha_\nu(s')
e^{-\tau(s',s)}\,{\operatorname{d}\!s'}。
了解介質的溫度和密度剖面曲線之後，就足以計算輻射轉移方程式的解。

愛丁頓近似
愛丁頓近似（）是輻射轉移方程式的一種近似解，適用於氣象學中的平面平行大氣（）模型及天文學中的模型。在這些模型裡，大氣的各種熱力性質呈現層狀（）分布，換句話說，它們只會在垂直於層狀大氣的方向上（定義為 z 軸）發生變化，而不會在平行方向上出現變化。輻射路徑 s 上的變化量與 z 軸上的變化量的關係為
:{\operatorname{d}\!s}=\frac{\operatorname{d}\!z}{\cos{\theta}}=\frac{\operatorname{d}\!z}{\mu} 。
我們稍後會解說定義 \mu=\cos\theta 的作用。由於考慮的是平面平行大氣，所以我們預期譜輻射率也只是 z 和 \mu 的線性函數。使用變數變換 {\operatorname{d}\!s}={\operatorname{d}\!z}/\mu ，代入一維輻射轉移方程式，則有
:\mu\frac{\partial {I_\nu}}{\partial z}=j_\nu-\alpha_\nu I_\nu

另一方面，我們定義譜輻射率 I_\nu 關於 \mu 的第 j 階動差：
:M_{j} \equiv \frac{1}{2} \int^{+1}_{-1} \mu^j I(\mu) {\operatorname{d}\!\mu}，
之所以引入動差的概念，是因為在平面平行大氣中，有許多輻射相關的物理量是 \mu=\cos\theta 的函數，只要使用變數變換 {\operatorname{d}\!\mu}=-\sin{\theta}\; {\operatorname{d}\!\theta} ，就可以在角度積分中簡化算式。具體來說，假設 A(\cos{\theta}) 是任意 \mu=\cos\theta 的函數，則 A(\cos{\theta}) 對於所有方向的立體角積分為
:\int A(\cos{\theta}){\operatorname{d}\!\Omega} = \int^{2\pi}_{\phi=0} \int^\pi_{\pi=0} { A(\cos{\theta}) \sin{\theta}\, {\operatorname{d}\!\theta}\, {\operatorname{d}\!\phi}} = 2\pi\int^{+1}_{-1}{A(\mu)\,{\operatorname{d}\!\mu}}。
I 關於 \mu 的前幾階動差是
:J=\frac{1}{2}\int^1_{-1}{I (\mu) {\operatorname{d}\!\mu}} ，
:H =\frac{1}{2}\int^{1}_{-1}{\mu I(\mu) {\operatorname{d}\!\mu}}，
:K=\frac{1}{2}\int^1_{-1}{\mu^2 I_\nu(\mu){\operatorname{d}\!\mu}}。
此處 J 是輻射強度的角度平均（），它恰好與能量密度 U 成正比；H 是愛丁頓通量（），與 F 成正比；K 也與輻射壓 P 成正比。

所謂的愛丁頓近似就是將平面平行大氣中的輻射場視為「近似於各向同性」、但是有關於 \mu=\cos{\theta} 的一階異向性，簡單來說，就是假定 I 關於 \mu 的泰勒級數只保留到一次項，於是 I 成為 \mu 線性函數：
:I(z, \mu) = a(z) + b(z) \mu。
將這個函數代入上述動差的公式，可以得到
:J=a(z),\quad\,H=\frac{b(z)}{3},\quad K=\frac{a(z)}{3} 。
於是得到愛丁頓近似的重要結果：
:K=\frac{J}{3}。

這等價於各項同性輻射場的重要條件 P=U/3，不過差別在於愛丁頓近似適用於稍微具有異向性的輻射場。愛丁頓近似是由天文學家亞瑟·愛丁頓在研究恆星大氣時所提出。

愛丁頓近似與不同。雙流近似是假設空間分為兩塊區域，輻射在其中一邊固定以某方向傳播，在另一邊固定以另一方向傳播。

參見

• 吸收 (光學)
• 原子谱线
• 比尔－朗伯定律
• 發射光譜
• 大氣輻射轉移模型
• （）
• 辐射率
• 希沃特积分

註腳
延伸閱讀
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參考資料