磁标势

磁标势（）是描述磁场性质的一个有用的辅助量，尤其是在永磁体中。

在一个单连通、没有自由电流的区域，有

:\nabla\times\mathbf{H}=0,

这样，我们可以定义磁标势\psi为

:\mathbf{H}=-\nabla\psi.

又因为

:\nabla\cdot\mathbf{B}=\mu_{0}\nabla\cdot(\mathbf{H+M})=0,

并且

:\nabla^{2}\psi=-\nabla\cdot\mathbf{H}=\nabla\cdot\mathbf{M}.

这里，\nabla\cdot\mathbf{M}充当了磁场的“源”，看起来就像是\nabla\cdot\mathbf{P}在电场中的角色。因此，类比束缚电荷，我们可以将

:\rho_{m}=-\nabla\cdot\mathbf{M}

称为“束缚磁荷”（虽然到目前为止尚未发现有单独的磁荷存在）。

如有区域存在自由电流，则可以从总的磁场中减去自由电流的贡献，利用磁标势方法求得剩余量。

利用磁标势求解磁場
在靜磁學裏，描述在源電流四周的另外一個很有用的工具是磁标势。由於磁标势是一個純量，不是向量，大多數時候，使用磁标势可以使得運算更加簡便。但是，它只能使用在沒有源電流的空間。注意到靜磁學的兩個基本方程式為
:\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J} 、
:\nabla\cdot\mathbf{B} =0 ；

其中，\mathbf{H} 是磁場強度（H場）。

假設電流密度 \mathbf{J} 等於零，則 \nabla\times\mathbf{H}=0 ，H場是個保守場，必定存在一個函數 \psi_m 滿足
:\mathbf{H} = - \nabla\psi_m 。

稱這函數為磁标势。在真空裏或各向同性、線性、均勻的介電質裏，則可將上述定義式代入高斯磁定律，稍加編排，表示為拉普拉斯方程式的形式：
: \nabla^2\psi_m = 0。

對於任意連續場 \psi_m ，其梯度的旋度為零。這意味著磁标势場不能存在有任何源電流。但是，實際而言，假若容許不連續線的存在於磁标势場（不連續點可以擁有兩種不同的數值），應用複分析，就可以計算源電流產生的磁場。這不連續線稱為割線（）。當用磁标势來解析靜磁學問題時，源電流必須置放於割線。

鐵磁性物質的磁标势
在鐵磁性物質或永久磁鐵裏，B場 \mathbf{B} 、磁化強度 \mathbf{M} 與H場 \mathbf{H} 之間的關係比較複雜：
:\mathbf{H}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{\mu_0}\mathbf{B}-\mathbf{M} 。

應用高斯磁定律，
:\nabla\cdot\mathbf{B}=\mu_0\nabla\cdot({\mathbf{H}+\mathbf{M}})=0 。

立可得到
: \nabla^2\psi_m = -\nabla\cdot\mathbf{H}=\nabla\cdot\mathbf{M}。

\nabla\cdot\mathbf{M} 可以視為磁場的源電流，就好似 \rho_{bound}=-\nabla\cdot\mathbf{P} 是靜電學的束縛電荷一樣。這樣，類比束縛電荷，可以稱呼 \rho_m=-\nabla\cdot\mathbf{M} 為「束縛磁荷」。這樣，束縛磁荷的帕松方程式為
: \nabla^2\psi_m = -\rho_m。

這帕松方程式的解答為
:\psi_m(\mathbf{r})=\ \frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho_m(\mathbf{r}')}\, d^3\mathbf{r}' 。

参考文献
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