李善兰恒等式

李善兰恒等式为组合数学中的一个恒等式，由中国清代数学家李善兰于1859年在《垛积比类》一书中首次提出，因此得名。

有幂级数和概率两种证明方法。

表达式
{\binom {n+k}k}^2=\sum_{j=0}^k {\binom kj}^2 \binom {n+2k-j}{2k}

其中{\binom {k}l}=\frac{k!}{l!(k-l)!}

与超几何函数的关系
李善兰恒等式是薩爾許茨定理（Saalschütz's theorem）的一个整数特例。

{}_3F_2 (a,b, -n;c, 1+a+b-c-n;1)= \frac{(c-a)_n(c-b)_n}{(c)_n(c-a-b)_n}.

\sum_{j=0}^k \binom{k}{j}^2\binom{n+2k-j}{2k}
=\frac{(n+2k)!}{(2k)!n!}\sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-k)^{(j)}(-k)^{(j)}(-n)^{(j)}}{(1)^{(j)}(-n-2k)^{(j)}j!}
=\frac{(n+2k)!}{(2k)!n!}{}_3F_2 (-k,-k,-n;1,-n-2k;1)

=\frac{(n+2k)!(1+k)_n(1+k)_n}{(2k)!n!(1)_n(1+2k)_n}
=\frac{(n+2k)!(n+k)!(n+k)!(2k)!}{(2k)!n!k!k!n!(n+2k)!}=\binom{n+k}{k}^2

参见
*组合数学
*李善兰

参考资料