粒子衰變

粒子衰變是一基本粒子變成其他基本粒子的自發過程。在這個過程中，一基本粒子變成質量更輕的另一種基本粒子，及一中間粒子，例如μ子衰變中的W玻色子。這中間粒子隨即變成其他粒子。如果生成的粒子不穩定，那麼衰變過程還會繼續。

粒子衰變這種過程，與放射性衰變不一樣，後者為一不穩定的原子核，變成一更小的原子核，當中還伴隨着粒子或輻射的發射。

注意本條目使用自然單位，即

:c=\hbar=1。

粒子壽命列表
所有數值均來自粒子數據小組：
:

生還概率
把一粒子的平均壽命標記為\tau，這樣粒子在時間t後仍生還（即未衰變）的概率為

::P(t) = e^{-t/(\gamma \tau)}

:其中

::\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}為該粒子的勞侖茲因子。

衰變率
設一粒子質量為M，則衰變率可用下面的通用公式表示

::d \Gamma_n = \frac{(2\pi)^4}{2M}\left|\mathcal{M} \right|^2 d \Phi_n (P; p_1, p_2,\dots, p_n)

:其中

::n為原衰變所生成的粒子數，

::\mathcal{M}\,為連接始態與終態的不變矩陣上的元，

::d\Phi_n \, 為相空間的元，及

::p_i \,為粒子i 的四維動量。

相空間可由下式所得，
::d \Phi_n (P; p_1, p_2,\dots, p_n) = \delta^4 (P - \sum_{i=1}^n p_i) \left( \prod_{i=1}^n \frac{d^3 \vec{p}_i}{(2\pi)^3 2 E_i} \right) \,
:其中
::\delta^4 \,為四維的狄拉克δ函數。

三體衰變
作為例子，一粒子衰變成三粒子時的相空間元如下：
::d\Phi_3 = \frac{1}{(2\pi)^9} \delta^4(P - p_1 - p_2 - p_3) \frac{d^3 \vec{p}_1}{2 E_1} \frac{d^3 \vec{p}_2}{2 E_2} \frac{d^3 \vec{p}_3}{2 E_3} \,

四維動量
一粒子的四維動量又叫其不變質量。

一粒子的四維動量平方，定義為其能量平方與其三維動量平方間的差（注意從這開始，採用的單位都能滿足光速等於1這項條件）：
::p^2 = E^2 - (\vec{p})^2 = m^2 \quad \quad \quad \quad (1) \,

兩粒子的四維動量平方為
::p^2 = \left(p_1 + p_2 \right)^2 = p_1^2 + p_2^2 + 2 p_1 p_2 = m_1^2 + m_2^2 + 2(E_1 E_2 - \vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2)\,。

四維動量守恆
在所有衰變及粒子相互作用中，四維動量都必須守恆，因此始態pi 與終態pf 的關係為
::p_\mathrm{i} = p_\mathrm{f}。

在二體衰變中
設母粒子質量為M，衰變成兩粒子（標記為1和2），那麼四維動量的守恆條件則為

:p_M = p_1 + p_2 。

整理可得，

:p_M - p_1 = p_2

然後取左右兩邊的平方

:p_M^2 + p_1^2 - 2p_M p_1 = p_2^2 。

現在要用的正是四維動量的定義——方程(1)，展開各p2 得

:M^2 + m_1^2 - 2 \left(E_M E_1 - \vec{p}_M \cdot \vec{p}_1 \right) = m_2^2 . \quad \quad \quad \quad (2) \,

若進入母粒子的靜止系，則

:*\vec{p}_M =0 \,，及
:*E_M = M \,

將上述兩式代入方程(2)得：

:M^2 + m_1 ^2 - 2 M E_1 = m_2^2. \,

整理後得粒子1於母粒子靜止系中的能量公式，

:E_1 = \frac{M^2 + m_1^2 - m_2^2}{2 M} . \quad \quad \quad \quad (3) \,

同樣地，粒子2在母粒子在靜止系中的能量為

:E_2 = \frac{M^2 + m_2^2 - m_1^2}{2 M}。

可得
:|\vec{p}_1| = |\vec{p}_2| = \frac{\sqrt{\left[M^2-\left(m_1+m_2\right)^2\right]\left[M^2-\left(m_1-m_2\right)^2\right]}}{2M}. \,

先把 E_1 ^2 = m_1 ^2 + \vec{p}_1 ^2 \, 代入方程(3)：

: \vec{p_1} ^2 = \frac{(M^2 + m_1^2 - m_2^2)^2-4 m_1 ^2 M^2}{4 M^2}\,

: \vec{p_1} ^2 = \frac{M^4 + m_1^4 + m_2^4 - 2 m_1 ^2 M^2 - 2 m_2 ^2 M^2 - 2 m_1 ^2 m_2 ^2}{4 M^2}\,

: \vec{p_1} ^2 = \frac{M^4 - M^2 (m_1 + m_2)^2 -M^2 (m_1 - m_2)^2 + (m_1 ^2 - m_2 ^2)^2}{4 M^2}\,

: \vec{p_1} ^2 = \frac{M^2 \left[ M^2 - (m_1 - m_2)^2\right] - (m_1 + m_2)^2\left[M^2 - (m_1 - m_2 )^2\right]}{4 M^2}\,

: |\vec{p}_1| = \frac{\sqrt{\left[M^2-\left(m_1+m_2\right)^2\right]\left[M^2-\left(m_1-m_2\right)^2\right]}}{2M}. \,

|\vec{p}_2| \,的推導也一樣。

二體衰變
從兩個不同的參考系
在實驗室系中發射粒子的角度，與質心系時的關係由下式表示：

::\tan{\theta'} = \frac{\sin{\theta}}{\gamma \left(\beta / \beta' + \cos{\theta} \right)}

衰變率
設一母粒子質量為M ，衰變成兩粒子，標記為1和2。那麼在母粒子的靜止系中，

:|\vec{p}_1| = |\vec{p_2}| = \frac{[(M^2 - (m_1 + m_2)^2)(M^2 - (m_1 - m_2)^2)]^{1/2}}{2M}。

另外，用球座標表示則為

:d^3 \vec{p} = |p|^2\, dp d\Omega = p^2\, d \phi\, d\left( \cos \theta \right) 。

已知二體衰變的相空間元（見上文#衰變率一節，n=2），得母粒子參考系中的衰變率為：

:d\Gamma = \frac{1}{32 \pi^2} \left| \mathcal{M} \right|^2 \frac{M^2}\, d\phi_1\, d\left( \cos \theta_1 \right)。

另見
*粒子物理學
*粒子列表
*弱相互作用

參考資料

• －見第2頁。

*[http://pdg.lbl.gov/ 粒子數據小組]
*[https://web.archive.org/web/20190719141632/http://particleadventure.org/ 粒子大冒險] 勞倫斯伯克利國家實驗室粒子數據小組