亥姆霍茲線圈（）是一種製造小範圍區域均勻磁場的器件。由於亥姆霍茲線圈具有開敞性質，很容易地可以將其它儀器置入或移出，也可以直接做視覺觀察，所以，是物理實驗常使用的器件。因德國物理學者赫爾曼·馮·亥姆霍茲而命名。
簡介
亥姆霍茲線圈是由一對完全相同的圓形導體線圈組成。採用直角坐標系，這兩個半徑為R的圓形線圈的中心軸都與z-軸同軸。兩個圓形線圈的z-坐標分別為h/2與-h/2。每一個導體線圈載有同向電流I。
設定h=R可以使得在兩個線圈中心位置O（即原點）的磁場，其不均勻程度極小化。這動作促使\partial^{2}B/\partial z^{2} = 0，也意味著領先的非零微分項目是\partial^{4}B/\partial z^{4}，稍後會對這論點做更詳細解釋。但是，這樣做仍舊會在線圈平面跟z-軸相交處與O點之間遺留大約7%磁場數值的差別。
在某些应用中，亥姆霍茲線圈可以用來抵消地磁場，製造出接近零磁場的區域。
數學描述
區域內，磁場數值與中心位置的磁場數值B_0相差不超過1%。五條等值線的磁場數值分別為0.5 B_0、0.8 B_0、0.9 B_0、0.95 B_0、0.99B_0。]]
關於在空間任意位置的精確磁場計算，需要應用到貝索函數或橢圓函數與其相關技巧。沿著線圈的中心軸（z-軸），涉及到的計算比較簡單，可以應用泰勒展開，將磁場展開為z的冪級數。採用直角坐標系，以亥姆霍茲線圈的中心位置為z-軸的原點O。由於對於xy-平面的對稱性，奇數冪項目必等於零。經過調整兩個線圈之間的距離h，可以使得O點成為拐點，則可以保證z^2級項目為零，因此領先不均勻項目是z^4級項目。
在中心位置O點，磁場為
: B = {\left ( \frac{4}{5} \right )}^{3/2} \frac{\mu_0 n I}{R}；
其中，\mu_0是磁常數。
推導
採用直角坐標系，設定單匝線圈的中心軸為z-軸，線圈平面與z-軸相交處為原點，則在z-軸的磁場以方程式表示為（這方程式可以從必歐-沙伐定律推導出來）
: B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}；
其中， B是磁場數值大小，\mu_0是磁常數，I是電流，R是線圈半徑，z是檢驗位置的z-坐標。
對於n匝線圈，磁場為
: B = \frac{\mu_0 n I R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}。
現在改變系統為亥姆霍茲線圈，其中心位置為原點。原點與線圈平面之間的垂直距離為R/2，注意到每一個亥姆霍茲線圈有一對線圈，所以，總磁場為
: B = \frac{2\mu_0 n I R^2}{2(R^2+(R/2)^2)^{3/2}} = {\left ( \frac{4}{5} \right )}^{3/2} \frac{\mu_0 n I}{R}。
進階推導
更詳細地計算，沿著z-軸的磁場為兩個線圈的貢獻的疊加：
: \mathbf{B} =\frac{\mu_0 I R^2}{2} \left\{\left[R^2+(z-h/2)^2\right]^{-3/2}
+\left[R^2+(z+h/2)^2\right]^{-3/2}\right\}\hat{\mathbf{z}}。
在原點附近的磁場，經過一番運算，可以泰勒展開成z的冪級數：
: \mathbf{B} =\frac{\mu_0 I R^2}{d^3}\left[1+\frac{3(h^2-R^2)z^2}{2d^4}+\frac{15(h^4-6h^2R^2+2R^4)z^4}{16d^8}+\dots\right]\hat{\mathbf{z}}；
其中，d=\sqrt{R^2+h^2/4}。
現在設定h=R，則z^2項目為零，在原點附近的磁場更加均勻：
: \mathbf{B} ={\left ( \frac{4}{5} \right )}^{3/2} \frac{\mu_0 I}{R}\left[1-\frac{144}{125}\ \left(\frac{z}{R}\right)^4+\dots\right]\hat{\mathbf{z}}。
磁場不均勻率與z的關係式為
: \frac{\Delta B_z}{B_z}\approx -\frac{144}{125}\ \left(\frac{z}{R}\right)^4。
在z=\pm R/2，線圈平面與z-軸相交處，磁場數值的差別為
: \frac{\Delta B_z}{B_z}\approx -\frac{144}{125}\ \left(\frac{1}{2}\right)^4\approx -7\%。
參閱
*麦克斯韦线圈（）
*
*螺線管
*磁振造影
參考文獻
外部連結
- [http://demonstrations.wolfram.com/HelmholtzCoilFields/ Helmholtz-Coil Fields] by Franz Kraft, The Wolfram Demonstrations Project.
*加州大學洛杉磯分校的高中電漿實驗室網頁：[http://plasmalab.pbwiki.com/f/bfield.pdf 單獨載流迴圈的磁場精確解] 。
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