应力强度因子

应力强度因子（Stress Intensity Factors），符号为**'，是表征弹性材料的裂纹尖端应力、应变状态控制失稳扩展的参量，是断裂力学、破壞力学中极其重要的一个参量。在断裂力学中，应力强度因子用于预测由远程载荷或残余应力引起的裂纹或凹口尖端附近的应力强度，是一个应用于均匀、线弹性材料的理论，对脆性材料的破坏非常适用，也可应用于在裂纹尖端表现出小尺度屈服的材料。

**'的大小取决于试样的几何形状、裂纹或凹口的大小和位置，以及材料上载荷的大小和分布。可以写成：

K = \sigma \sqrt{\pi a} \, f(a/W)

其中f(a/W)是试样几何依赖函数，为长度，宽度，是施加的压力。

弹性力学理论预测，在极坐标（r,\theta）中，裂纹尖端附近的应力分布（\sigma_{ij}）具有以下形式：

\sigma_{ij}(r, \theta) = \frac {K} {\sqrt{2 \pi r}}\,f_{ij} ( \theta) + \,\,\rm{higher\, order\, terms}

其中是应力强度因子（单位为应力×长度1/2），f_{ij}是一个随载荷和几何形状变化的无量纲量。理论上，当趋近于0时，应力\sigma_{ij}趋近于\infty，导致应力奇异性。这些荷载类型被归类为I型、II型或III型，如图所示。I型是一种拉伸模式，裂纹表面直接分开。II型是一种滑动（平面剪切）模式，裂纹表面相互滑动，方向与裂纹前沿垂直。III型是一种撕裂（反平面剪切）模式，裂纹表面相对移动，并且与裂纹前沿平行。I型是工程设计中最常见的加载类型。

对应于三种不同的断裂模式，有三个不同的物理量：K_I、K_{II}、K_{III}，不同的下标用于指定三种不同模式的应力强度因子，这些因子的形式定义如下：

K_{\rm c}^2 = K_{\rm I}^2 + K_{\rm II}^2 + \frac{E'}{2\mu}\,K_{\rm III}^2

其中，是断裂韧性，E' = E/(1-\nu^2)用于平面应变，E' = E用于平面应力。平面应力的临界应力强度因子通常被写成K_{\rm c}。

例子
无限平面：均匀单轴应力
假设长度为2a的直裂纹，在一个具有均匀应力场\sigma的无限平面中，其应力强度因子：

K_{\rm IA} = \sigma \sqrt{\pi a}\left[1 + \sum_{n=2}^{M} C_n\left(\frac{a}{b}\right)^n\right]

从应力强度曲线的拟合中可以基于不同d值，得到因子C_n。

K_{\rm IA} = \sigma\sqrt{\pi a}\,\Phi_A \,\, , K_{\rm IB} = \sigma\sqrt{\pi a}\,\Phi_B

其中

\begin{align}
\Phi_A &:= \left[\beta + \left(\frac{1-\beta}{4}\right)\left(1 + \frac{1}{4\sqrt{\sec\alpha_A}}\right)^2\right]\sqrt{\sec\alpha_A} \\
\Phi_B &:= 1 + \left[\frac{\sqrt{\sec\alpha_{AB}} - 1}{1 + 0.21\sin\left\{8\,\tan^{-1}\left[\left(\frac{\alpha_A - \alpha_B}{\alpha_A + \alpha_B}\right)^{0.9}\right]\right\}}\right]
\end{align}

其中

\beta := \sin\left(\frac{\pi\alpha_B}{\alpha_A+\alpha_B}\right) ~,~~ \alpha_A := \frac{\pi a}{2 d}
~,~~ \alpha_B := \frac{\pi a}{4b - 2d} ~;~~ \alpha_{AB} := \frac{4}{7}\,\alpha_A + \frac{3}{7}\,\alpha_B \,.

在上述表达试中，d是从裂纹中心到距离点A最近边界的距离。但是当d=b时，上述表达式不会简化为关于中心裂纹的近似表达式。

有限平面：边缘裂纹
对于一个尺寸为2h \times b2的平面，包含长度a的无约束边缘裂纹，如果板的尺寸满足h/b \ge 0.5和a/b \le 0.6，则在单轴应力\sigma下，裂纹尖端的应力强度因子为：

K_{\rm I} = \sigma\sqrt{\pi a}\left[1.122 - 0.231\left(\frac{a}{b}\right) + 10.55\left(\frac{a}{b}\right)^2

21.71\left(\frac{a}{b}\right)^3 + 30.382\left(\frac{a}{b}\right)^4\right] \,.

对于h/b \ge 1和 a/b \ge 0.3的情况，应力强度因子可近似得：

K_{\rm I} = \sigma\sqrt{\pi a}\left[\frac{1 + 3\frac{a}{b}}{2\sqrt{\pi\frac{a}{b}}\left(1-\frac{a}{b}\right)^{3/2}}\right] \,.

无限平面：双轴应力场中的倾斜裂纹
对于一个长度为2a的倾斜裂纹，在双轴向应力场中，应力在y方向为\sigma，在x方向为\alpha\sigma，应力强度因子为：

\begin{align}
K_{\rm I} & = \frac{F_x}{2\sqrt{\pi a}}\left(\frac{\kappa -1}{\kappa+1}\right)
\left[G_1 + \frac{1}{\kappa-1} H_1\right] \\
K_{\rm II} & = \frac{F_x}{2\sqrt{\pi a}}
\left[G_2 + \frac{1}{\kappa+1} H_2\right]
\end{align}

其中

\begin{align}
G_1 & = 1 - \text{Re}\left[\frac{a+z}{\sqrt{z^2-a^2}}\right] \,,\,\,
G_2 = - \text{Im}\left[\frac{a+z}{\sqrt{z^2-a^2}}\right] \\
H_1 & = \text{Re}\left[\frac{a(\bar{z}-z)}{(\bar{z}-a)\sqrt{{\bar{z}}^2-a^2}}\right] \,,\,\,
H_2 = -\text{Im}\left[\frac{a(\bar{z}-z)}{(\bar{z}-a)\sqrt{{\bar{z}}^2-a^2}}\right]
\end{align}

z = x + iy，\bar{z} = x - iy， \kappa = 3-4\nu用于平面应变，\kappa= (3-\nu)/(1+\nu)用于平面应力，其中\nu是泊松比。

在B端点F_y的应力强度因子为：

\begin{align}
K_{\rm I} & = \frac{F_y}{2\sqrt{\pi a}}
\left[G_2 - \frac{1}{\kappa+1} H_2\right] \\
K_{\rm II} & = -\frac{F_y}{2\sqrt{\pi a}}\left(\frac{\kappa -1}{\kappa+1}\right)
\left[G_1 - \frac{1}{\kappa-1} H_1\right] \,.
\end{align}

点A（x = -a）处的应力强度因子可根据上述关系确定。对于在位置(x,y) 处施加F_x荷载的应力强度因子为：

K_{\rm I}(-a; x,y) = -K_{\rm I}(a; -x,y) \,,\,\,
K_{\rm II}(-a; x,y) = K_{\rm II}(a; -x,y) \,.

F_y的应力强度因子相似：

K_{\rm I}(-a; x,y) = K_{\rm I}(a; -x,y) \,,\,\,
K_{\rm II}(-a; x,y) = -K_{\rm II}(a; -x,y) \,.

平面裂纹荷载
如果裂纹受到位于y=0且-a 的点作用力F_y加载，B处的应力强度因子为：

K_{\rm I} = \frac{F_y}{2\sqrt{\pi a}}\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}\,,\,\,
K_{\rm II} = -\frac{F_x}{2\sqrt{\pi a}}\left(\frac{\kappa -1}{\kappa+1}\right) \,.

如果力在-a 之间均匀分布，则B点的应力强度因子为：

K_{\rm I} = \frac{1}{2\sqrt{\pi a}}\int_{-a}^a F_y(x)\,\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}\,{\rm d}x\,,\,\,
K_{\rm II} = -\frac{1}{2\sqrt{\pi a}}\left(\frac{\kappa -1}{\kappa+1}\right)\int_{-a}^a F_y(x)\,{\rm d}x, \,.

无限平面：平行裂缝堆叠
如果裂纹间距远远大于裂纹长度（h \gg a），可忽略邻近裂纹之间的相互作用，应力强度因子等于长度为2a的单一裂纹的应力强度因子，裂纹尖端的应力强度因子为：

\begin{align}
K_{\rm I} & = \sigma\sqrt{\pi a}
\end{align}

如果裂纹长度远大于间距（a \gg h），则裂纹可以被视为半无限裂纹的堆叠，裂纹尖端应力强度因子为：

\begin{align}
K_{\rm I} & = \sigma\sqrt{h}
\end{align}

紧凑拉伸试样
紧凑拉伸试样裂纹尖端的应力强度因子为：

\begin{align}
K_{\rm I} & = \frac{4P}{B}\sqrt{\frac{\pi}{W}}\left[1.6\left(\frac{a}{W}\right)^{1/2} - 2.6\left(\frac{a}{W}\right)^{3/2}

12.3\left(\frac{a}{W}\right)^{5/2} \right.\\

& \qquad \left.- 21.2\left(\frac{a}{W}\right)^{7/2} + 21.8\left(\frac{a}{W}\right)^{9/2} \right]
\end{align}

其中P是施加的载荷，B是试样厚度，a是裂纹长度，W是试样的宽度。

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