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二项堆

Wikipedia · 2025-07-05 维基百科 👁 0 阅读

在计算机科学中，二项堆（）是一种类似于二叉堆的堆结构。与二叉堆相比，其优势是可以快速合并两个堆，因此它属于可合并堆（）抽象数据类型的一种。

二项树
二项树递归定义如下：

  • 度数为0的二项树只包含一个節点
  • 度数为k的二项树有一个根節点，根節点下有k个子女，每个子女分别是度数分别为k-1, k-2, ..., 2, 1, 0的二项树的根

度数为k的二项树共有2^k个節点，高度为k。在深度d处有\tbinom k d（二项式系数）个節点。

度数为k的二项树可以很容易从两颗度数为k-1的二项树合并得到：把一颗度数为k-1的二项树作为另一颗原度数为k-1的二项树的最左子树。这一性质是二项堆用于堆合并的基础。

二项堆
二项堆是指满足以下性质的二项树的集合：

  • 每棵二项树都满足最小堆性质，即節点关键字大于等于其父節点的值
  • 不能有两棵或以上的二项树有相同度数（包括度数为0）。换句话说，具有度数k的二项树有0个或1个。

以上第一个性质保证了二项树的根節点包含了最小的关键字。第二个性质则说明節点数为n的二项堆最多只有 \log{n} 棵二项树。实际上，包含n个节点的二项堆的构成情况，由n的二进制表示唯一确定，其中每一位对应于一颗二项树。例如，13的二进制表示为1101, 2^3 + 2^2 + 2^0, 因此具有13个节点的二项堆由度数为3, 2, 0的三棵二项树组成：

示例：一个含13个節点的二项堆

二项堆的操作
由于并不需要对二项树的根節点进行随机存取，因而这些節点可以存成链表结构。

合并
最基本的为二个分支度相同的二项树的合并。由于二项树根節點包含最小的关键字，因此在二棵树合并时，只需比较二个根節點关键字的大小，其中含小关键字的節點成为结果树的根節點，另一棵树则变成结果树的子树。

function mergeTree(p, q)
if p.root j从小取到大，在两个二项堆中如果其中只有一棵树的分支度为j，即将此树移动到结果堆，而如果只两棵树的分支度都为j，则根据以上方法合并为一个分支度为j+1的二项树。此后这个分支度为j+1的树将可能会和其他分支度为j+1的二项树进行合并。因此，对于任何分支度j，可能最多需要合并3棵二项树。

此操作的时间复杂度为{O}(\log n)。

function merge(p, q)
while not (p.end() and q.end())
tree = mergeTree(p.currentTree(), q.currentTree())

if not heap.currentTree().empty()
tree = mergeTree(tree, heap.currentTree())

heap.addTree(tree)
heap.next(); p.next(); q.next()

插入
创建一个只包含要插入元素的二项堆，再将此堆与原先的二项堆进行合并，即可得到插入后的堆。由于需要合并，插入操作需要{O}(\log n)的时间。平摊分析的时间复杂度为{O}(1)。

查找最小关键字所在節点
由于满足最小堆性质，只需查找二项树的的根節点即可，因为一共有\log n棵子树，所以用所时间为{O}(\log n)。

可以保存一个指向最小元素的指针，使得查找最小关键字所在節点需要{O}(1)的时间。在执行其他操作时，需要修改该指针。
删除最小关键字所在節点
先找到最小关键字所在節点，然后将它从其所在的二项树中删除，并获得其子树。将这些子树看作（合并为）一个独立的二项堆，再将此堆合并到原先的堆中即可。由于每棵树最多有\log n棵子树，创建新堆的时间为{O}(\log n)。同时合并堆的时间也为{O}(\log n)，故整个操作所需时间为{O}(\log n)。

function deleteMin(heap)
min = heap.trees().first()
for each current in heap.trees()
if current.root {O}(\log n)。

删除
将需要删除的節点的关键字的值减小到负无穷大（比二项堆中的其他所有关键字的值都小即可），执行“减小关键字的值”算法，使其调整到当前二项树的根节点位置，再删除最小关键字的根節点即可。

运行时间
以下对于二项堆操作的运行时间都为{O}(\log n)（節點数为n）：

  • 在二项堆中插入新節点
  • 查找最小关键字所在節点
  • 从二项堆中删除最小关键字所在節点
  • 减小给定節点关键字的值
  • 删除给定節点
  • 合并两个二项堆

参见

  • 斐波那契堆

参考资料
*

外部链接

#堆

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