偏度

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偏度（），亦稱歪度，在機率論和統計學中衡量實數隨機變數概率分布的不對稱性。偏度的值可以為正，可以為負或者甚至是無法定義。在數量上，偏度為負（負偏態；左偏）就意味着在概率密度函數左側的尾部比右側的長，絕大多數的值（不一定包括中位數在內）位於平均值的右側。偏度為正（正偏態；右偏）就意味着在概率密度函數右側的尾部比左側的長，絕大多數的值（不一定包括中位數。
*正偏態或右偏態：右側的尾部更長，分布的主體集中在左側。。

如果分布對稱，那麼平均值=中位數，偏度為零（此外，如果分布為單峰分布，那麽平均值=中位數=眾數）。

定義
隨機變量X的偏度\gamma_1為三階標準矩，可被定義為：
:
\gamma_1 = \operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big]
= \frac{\mu_3}{\sigma^3}
= \frac{\operatorname{E}\big[(X-\mu)^3\big]}{\ \ \ ( \operatorname{E}\big[ (X-\mu)^2 \big] )^{3/2}}
= \frac{\kappa_3}{\kappa_2^{3/2}}\ ,

其中\mu_3是三階主動差，\sigma是標準差。E是期望算子。等式的最後以三階累積量與二階累積量的1.5次方的比率來表示偏度。這和用四階累積量除去二階累積量的平方來表示峰度的方法向類似。

偏度有時用\mathrm{Skew}[X]來表示。老教科書過去常常用\sqrt{\beta_1}來表示偏度，可是由於偏度可為負，這樣的表示法較為不便。

對上面的等式進行擴展可導出用非中心矩E[X3]來表示偏度的公式：
:
\gamma_1
= \operatorname{E}\bigg[\Big(\frac{X-\mu}{\sigma}\Big)^{\!3} \,\bigg]
= \frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\operatorname E[X^2] + 2 \mu^3}{\sigma^3}
= \frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}\ .

樣本偏度
具有n個值的樣本的樣本偏度為：
:
g_1 = \frac{m_3}{{m_2}^{3/2}}
= \frac{\tfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^3}{\left(\tfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2\right)^{3/2}}\ ,

其中\overline{x}是樣本平均值，m_3是三階樣本中心矩，m_2是二階樣本中心距，即樣本方差。

性質
當：
\Pr \left[ X > x \right]=x^{-3}\mbox{ for }x>1,\ \Pr[X 時，偏度可以是無窮大的。

或者當：
\Pr[X（x為負）及

\Pr[X>x]=\frac{(1+x)^{-3}}{2}（x為正）時，偏度無法定義。

在後面的這個例子中，三階累積量是無法定義的。
其他分布形式比如：

:\Pr \left[ X > x \right]=x^{-2}\mbox{ for }x>1,\ \Pr[X

二階和三階累積量是無窮大的，所以偏度也是無法定義的。

如果假定Y為n個獨立變量之和並且這些變量和X具有相同的分布，那麽Y的三階累積量是X的n倍，Y的二階累積量也是X的n倍，所以：
\mbox{Skew}[Y] = \frac{\mbox{Skew}[X]}{\sqrt{n}}。根據中心极限定理，當其接近高斯分布時變量之和的偏度減小。

參見
*峰度
*主動差

註釋
參考資料
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Johnson, NL, Kotz, S, Balakrishnan N (1994) Continuous Univariate Distributions, Vol 1, 2nd Edition* Wiley ISBN 0-471-58495-9
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