日出方程式

40度（大約是紐約、北京的位置）作為基準之全年日照圖表。]]

日出方程式和隨後的那些分程式，可以計算出太陽在不同的赤緯時，地球各地不同緯度的日出和日落時間之精確地方時：

:\cos \omega_o = -\operatorname{tan}(\phi) \times \operatorname{tan}( \delta)

此處：

:\,\!\omega_o是日出（當數值為負數時）或日落（當數值為正值時）時，以度為單位的時角；
:\,\!\phi是在地球上觀測者的緯度；
:\,\!\delta 是太陽的赤緯。

方程式的理論
地球自轉的角速度是 15°/小時，因此\,\! \omega_o/15^o給了日出時間與當地正午之前相隔的小時數，或是日落時間與當地正午之後相隔的小時數。「當地正午」這個專有名詞（術語）在這裡的含意是太陽精確的位於正南方、正北方或正頭頂上位置的時刻。

在國際的協定上，當在赤道時\,\!\phi的值是0，在北半球是正值，在南半球是負值。當春分或秋分，太陽正好在赤道上空時，\,\!\delta是0，在北半球的夏天是正值，而在北半球的冬天是負值。

需要注意的是，上面的方程式只適用於有日出和日落的地區，也就是在北半球的夏天時，\,\!-90^o+\delta ；和在北半球的冬天，\,\!-90^ o-\delta 的地區，在這個緯度範圍之外的地區，不是24小時白天的永晝，就是24小時夜晚的永夜。

方程式的改進
同時要注意的還有，上面的方程式忽略了大氣折射的影響（當太陽在地平面時會被抬升約0.6°），和太陽盤面的大小（大約0.5°）。在天文曆書上，通常使用下面的方程式來修正這兩項因素影響，重新設置日出和日落的時刻：

:\cos(\omega_o) = \dfrac{\sin(a) - \sin(\phi) \times \sin(\delta)}{\cos(\phi) \times \cos(\delta)}

太陽盤面中心點的高度 (a)大約在地平面下-0.85° （或-51弧分）。

在地球上完整的計算
一般化的方程式在本身需要的計算之前，先要計算許多其它的變數。這些方程式中有全部的太陽-地球常數，都以角度形式的常數被置入。

計算現在的儒略週期
:n^{\star} = J_{date} - 2451545 - 0.0009 - \dfrac{l_w}{360}

:n = round(n^{\star})\dfrac{}{}

此處：
:Jdate是儒略日期；
:lw是觀測者在地球上的西經度數（西經是負值、東經是正值）；
:n是以2000年1月1日為基準(0)的儒略世紀數。

大約的太陽正午
:J^{\star} = 2451545 + 0.0009 + \dfrac{l_w}{360} + n

此處：

:J^{\star}是在地面經度lw的太陽正午大約時刻。

太陽的平近點角
:M = [357.5291 + 0.98560028 \times (J^{\star} - 2451545)] \mod 360

此處：

:M是太陽的平近點角。

中心差
:C = 1.9148 \times \sin(M) + 0.0200 \times \sin(2 M) + 0.0003 \times \sin(3 M) \dfrac{}{}

此處：

:C是中心差。

黃經
:\lambda = (M + 102.9372 + C + 180) \mod 360

此處：

:λ是黃經。

過中天
:J_{transit} = J^{\star} + (0.0053 \times \sin(M)) - (0.0069 \times \sin(2 \lambda))

此處：

:Jtransit是太陽過中天（太陽正午）的恆星時。

太陽的赤緯
:\delta = \sin^{-1}( \sin(\lambda) \times \sin(23.45) ) \dfrac{}{}

此處：

:δ是太陽的赤緯。

時角
這時來自上面修正太陽盤面的方程式。

:\omega_o = \cos^{-1}\left(\dfrac{\sin(-0.83) - \sin(\phi) \times \sin(\delta)}{\cos(\phi) \times \cos(\delta)} \right)

此處：

:ωo是時角；
:\phi是觀測者在地球上的緯度（北緯是正值、南緯是負值）。

這是修正太陽盤面的主要方程式

日出和日落的計算
:J_{set} = 2451545 + 0.0009 + \left( \dfrac{\omega_o +l_w}{360} + n + 0.0053 \, \sin M \right) - 0.0069 \, \sin 2 \lambda

:J_{rise} = J_{transit} - (J_{set} - J_{transit}) \dfrac{}{}

此處：

:Jset是日落的正確儒略日；
:Jrise是日出的正確儒略日。

相關條目
*日出
*日落
*日長
*均時差