弦圖

在图论中，弦图（）是一类含有很多弦的图。所谓“弦”，即环中跨越非邻点的一条边，或者说“捷径”（可类比圆中的弦）。弦图要求图中任意一个长度不小于4的环都须含有弦。根据该定义，弦图中每一个大环都被弦切割成若干小三角形，因此弦图也被称作三角化图。

弦图是完美图的一种子类。算法可以在线性时间内判定一张图是否为弦图。而且，有些在一般图上困难的问题（比如图着色问题），在弦图上可被高效解决。

定义
设C_k := v_1 v_2 \dots v_k v_1是一个环，其中k \geq 4。只要i - j \not\equiv 0, 1, k-1 \pmod{k}，我们就称边 e := \{v_i, v_j\}为环C_k的一条弦。

设G = (V,E)是一张图。若对于图中任意环C_k \subseteq G ~ (k \geq 4)，边集E都含有C_k的某条/某些弦，则称G是一张弦图。

等价刻画
弦图可以被完美消去序（perfect elimination ordering，以下简称完美序）的概念所刻画。记\Gamma_H(v) := \{ u \mid u = v \lor \{u,v\} \in E(H) \}为顶点v在图H的含心邻域。现给定图G的一个顶点排序\pi := v_1, v_2, \dots, v_n，我们定义H_i := G \left[\cup_{j=1}^i v_j\right]。若对任意i，\Gamma_{H_i}(v_i)均为完全图，那么就称\pi是一个完美序。

富爾克森和Gross（1965）证明了一张图是弦图当且仅当它拥有某种完美序。拥有完美序的图一定是完美图，因此弦图是完美图的子类。

Rose，Lueker和Tarjan（1976）构造了一种用于寻找完美序的线性算法。结合前面的等价刻画，算法可以在线性时间内断定一张图是否为弦图。

参考文献