》一页：杨辉引用贾宪《释锁算书》中的贾宪三角形]]
杨辉-{}-三角形，又称帕斯-{}-卡三角形、賈憲三角形、海亚姆三角形、巴斯-{}-卡三角形，是二项式系數的一种写法，形似三角形，在中国首现于南宋杨辉的《詳解九章算法》得名，其在书中说明是引自贾宪的《释锁算书》，故又名贾宪三角形。前9行写出来如下：
\begin{array}{c}
1 \\
1 \quad 1 \\
1 \quad 2 \quad 1 \\
1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\
1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\
1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1 \\
1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1 \\
1 \quad 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1 \\
1 \quad 8 \quad 28 \quad 56 \quad 70 \quad 56 \quad 28 \quad 8 \quad 1 \\
1 \quad 9 \quad 36 \quad 84 \quad 126 \quad 126 \quad 84 \quad 36 \quad 9 \quad 1 \\
1 \quad 10 \quad 45 \quad 120 \quad 210 \quad 252 \quad 210 \quad 120 \quad 45 \quad10 \quad 1\\
\end{array}
杨辉三角形第 n 层（顶层称第 0 层，第 1 行，第 n 层即第 n+1 行，此处 n 为包含 0 在内的自然数）正好对应于二项式 \left(a+b\right)^{n} 展开的系数。例如第二层 1 2 1 是幂指数为 2 的二项式 \left(a+b\right)^{2} 展开形式 a^{2}+2ab+b^{2} 的系数。
性質
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楊輝三角形以正整數構成，數字左右对称，每行由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。
楊輝三角形每一行的平方和在楊輝三角出現奇數次。
楊輝三角形第2的冪行所有數都是奇數{{NoteTag|亦即組合數\binom{2^a-1}{b}恆為奇數，其中a為非負整數，b為0,1,2,3, \cdots ,(2^a-1)中的某一數。}}，此為盧卡斯定理的特殊情況。
第 n 行的数字个数为 n 个。
第 n 行的第 k 個數字為組合數 C_{k-1}^{n-1}。
第 n 行数字和为 2^{n-1}，因為第 n 行是 \left(1+1\right)^{n-1} 的二項展開。
第 n 行的数字按順序寫下所形成的數字为 11^{n-1}，因為該數字是 \left(10+1\right)^{n-1} 的二項展開。例如第二行 11=11^1 ，第三行 121=11^2，第四行 1331=11^3，第五行 14641=11^4，第六行 161051=11^5（第六行之後需進位）。該規律可推廣至任何進位制，例如在九進制下：121_9=100_{10}，1331_9=1000_{10}。
除每行最左側與最右側的數字以外，每个数字等于它的左上方與右上方两个数字之和（也就是說，第 n 行第 k 個數字等於第 n-1 行的第 k-1 個數字與第 k 個數字的和）。這是因为有組合恒等式：C_{k+1}^{n+1}=C_{k}^{n}+C_{k+1}^{n}。可用此性质写出整个楊輝三角形。
如果 n 為質數，則第 \left(n+1\right) 行的數中除了兩端的1以外均為 n 的整數倍數。若 n 為合數則不然。{{NoteTag|考慮二項式係數\binom{p}{n}=\frac{p!}{n!(p-n)!}，並限定n不為p或0，則由於分子有質數p，但分母不含p，故分子的p能保留，不被約分而除去，即\binom{p}{n}恆為p的倍數。另見中一新生之夢。}}
按照該三角形的斜邊以及與之平行的斜線上的數所形成的數列為第 \left(n-1\right) 維度的單純形數。即第一列全為1（0維），第二列為自然數形成的數列，第三列為三角形數形成的數列，第四列為四面體數形成的數列，第五列為五胞體數形成的數列，以此類推。
第 p 行（第 n 層）的所有的數的平方和為第 \left(2p-1\right) 行（第 2n 層）正中央的數字。可用該式得出 \sum_{k=0}^n {n \choose k}^2 = {2n \choose n}。例如第五行（第四層）所有的數的平方和 1^2+4^2+6^2+4^2+1^2=70 是第九行（第八層）正中央的數字。
將三角形左端對齊之後，沿右斜45度的對角線方向（不改變三角形形狀的話則需要按照中國象棋的馬的走法）取得的數之和為斐波那契數。
將第奇數行正中央的數減去其左側（或右側）第二個數，得到的差為卡塔蘭數。
將楊輝三角形中所有的奇數與所有的偶數以不同顏色塗色的話，可以形成一個類似謝爾賓斯基三角形的圖形。
歷史
的公式。拉古纳特图书馆J&K手稿；公元755年]]
波斯數學家凯拉吉和天文學家兼詩人欧玛尔·海亚姆（عمر خیام,Omar Khayyám）在10世紀都發現了這個三角形，而且還知道可以借助這個三角形找n次根，和它跟二项式的關係。但他们的著作已佚失。
11世纪北宋数学家贾宪发明了贾宪三角，并发明了增乘方造表法，可以求任意高次方的展开式系数。贾宪还对贾宪三角表（古代称数字表为“立成”）的构造进行描述。贾宪的三角表图和文字描写，仍保存在大英博物馆所藏《永乐大典》卷一万六千三百四十四。
13世纪中国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》里解释这种形式的数表，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》。
1303年元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》卷首绘制《古法七乘方图》。
意大利人稱之為「塔塔利亞三角形」（Triangolo di Tartaglia）以紀念在16世紀發現一元三次方程解的塔塔利亞。
布萊士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介紹了這個三角形。帕斯卡搜集了幾個關於它的結果，並以此解決一些概率論上的問題，影响面广泛，皮埃尔·雷蒙·德蒙莫尔（1708年）和亞伯拉罕·棣莫弗（1730年）都用帕斯卡來稱呼這個三角形。
历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家：
- Karaji 和 欧玛尔·海亚姆 波斯 10世紀（图文无存）
- 賈憲 中國北宋 11世纪 《释锁算术》 （图文现存大英博物馆所藏《永乐大典》）
- 杨辉 中國南宋 1261《详解九章算法》记载之功（图文现存大英博物馆所藏《永乐大典》）
- 朱世杰 中國元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式
- 阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》（现存图文）
- 阿皮亚纳斯 德国 1527
- 施蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数
- 薛贝尔 法国 1545
- B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》
中国数学家的研究
中国贾宪是贾宪三角的发明人，贾宪/杨辉称之为“释锁求廉本源”，朱世杰称之为“古法七乘方图”（1303年），明代数学家吴敬《九章详注比类算法大全》称之为“开方作法本源”（1450年）；明王文素《算学宝鉴》称之为“开方本源图”（1524年）；明代程大位《算法统宗》称之为“开方求廉率作法本源图”（1592年）。
清代梅文鼎《少广拾遗》称之为“七乘府算法”（1692年）；清代孔广森《少广正负术》称之为“诸乘方乘率表”；焦循《加减乘除释》称之为“古开方本原图”；刘衡《筹表开诸乘方捷法》称之为“开方求廉率图”；项名达《象数一原》称之为“递加图”。伟烈亚力《数学启蒙》称之为“倍廉法表”；李善兰《垛积比类》称之为“三角垛表”。近代中算史家李俨称之为“巴斯噶三角形”，但根据《永乐大典》指出“巴斯噶三角形”最早由贾宪使用。。著名数学家华罗庚，在1956年写的一本通俗读物《从杨辉三角谈起》，将贾宪的《开方作法本源》称为“杨辉三角”，首次将“巴斯噶三角形”回归宋代数学家名下；此后的中学数学教科书和许多数学科普读物都跟随之。另一方面，专业的中国数学史著作，都用“贾宪三角”这个称呼。。
一個數在杨辉三角出現的次數
由1開始，正整數在楊輝三角形出現的次數為：∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... （A003016）。最小而又大於1的數在賈憲三角形至少出現n次的數為2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... （A062527）
- 除了1之外，所有正整數都出現有限次。
- 只有2出現剛好一次。
- 6,20,70等出現三次。
- 出現兩次和四次的數很多。
- 還未能找到出現剛好五次或七次的數。
- 120,210,1540等出現剛好六次。（A098565）
** 因為丟番圖方程
{n+1 \choose k+1} = {n \choose k+2},
有無窮個解，所以出現至少六次的數有無窮多個。
** 其解答，是
:: n = F_{2i+2} F_{2i+3} - 1,\,
k = F_{2i} F_{2i+3} - 1,\,
** 其中F_n表示第n個斐波那契數（F_1 = F_2 = 1）。
- 3003是第一個出現八次的數。
註釋
参考文献
外部連結
参见
- 贾宪、杨辉
- 莱布尼茨三角形
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