运动学

运动学（kinematics）是力学和几何学的一门分支。运动学作为力学的分支看待时，在物理上只专门描述物体的運動，即物体在空间中的位置随时间的演进而作的改变，而不考慮作用力或质量等等影响運動的因素。運動学与動力學（dynamics）不同。動力學专门研究造成运动或影响运动的各种因素。互相由连接的机械约束运动的研究有时候也会被称为运动学。動力學綜合運動學與动理学（Kinetics）在一起，研究力學系統由於力的作用隨著時間演進而造成的運動。在几何上，运动学研究几何量相对于参考系随时间变化的规律，例如位置、距离和角度。运动学研究这些量的时间导数，以及它们之间的相互关系，同时也研究运动的对象：点，以及欧几里得空间中刚体运动的子集。

任何一个物体，像是车子、火箭、星球等等，不论其尺寸大小，假若能够忽略其内部的相对运动，假若其内部的每一部份都是朝相同的方向、以相同的速度移动，那麼，可以简易地将此物体视为質點，将此物体的质心的位置当作質點的位置。在运动学裏，这种質點运动，不论是直線运动或是曲線运动，都是最基本的研究对象。

假若不能忽略物体内部的相对运动，则当解析其运动时，必须先将物体理想化为刚体，即一群彼此之间距离不变的質點。涉及刚体的问题比较困难。刚体可能会进行平移运动、旋转运动或两者的综合。更困难的案例是多刚体系统的運動。在這系统内，几个刚体由連桿连结在一起。運動學分析某連桿裝置的可能運動範圍，或反過來，設計滿足預定運動範圍的連桿裝置。起重機或引擎活塞系統都是簡單的運動系統。起重機是一種。活塞系統是四連桿組的一部分。
运动学研究描述物体位置与速度的坐标或参考系统，以及不同系统之间的数学变换。这些系统可以是直角坐标系，如笛卡尔坐标系；也可以是曲线坐标系，如极坐标系，或其他坐标系统。物体的运动轨迹可以相对于其他物体来给出，而这些参照物本身也可能相对于标准参考系运动。此外，也可以采用旋转参考系。
質點運動學
質點運動學研究關於單獨質點的運動。该学科可以應用於質點動力學、质点系动力学和其它力學領域。按照路徑的彎曲與否，質點運動可以分為直線運動與曲線運動。

位置、參考系
在三維空間裏，詳細設定一個點P的位置需要完成三件事，找到參考點O（通常稱為原點）、給出從點O到點P的距離、給出從點O到點P的直線方向；缺少其中任何資料，都會使得位置的描述不完全。

將上述的資料數學化，用向量來描述位置。首先，為了要能夠一致地表示距離或方向，必須選擇一個三維坐標系，設定坐標系的原點O為參考點，以三維坐標系為參考系。這樣，位置向量的大小就是點P離參考點的距離，而位置向量的方向就是從參考點到點P的直線方向。

質點的位置向量是從參考系的原點到質點的位置的向量。這向量表達了從原點到質點位置的距離和方向。在三維空間裏，點P的位置向量 \mathbf{r} 表達為
:\mathbf{r} = (x,y,z) ；

其中，x 、y 、z 分別為點P的直角坐標。

位置向量 \mathbf{r} 的大小是點P與原點之間的距離：
:|\mathbf{r}| = \sqrt{x^{\ 2} + y^{\ 2} + z^{\ 2}} 。

從不同的參考系觀測點P的位置，可以得到不同的位置向量。

靜止與移動
從某參考系觀測，假若質點的位置向量隨著時間的演進而改變，則稱此質點處於「移動狀態」；假若質點的位置向量保持不變，則稱此質點處於「靜止狀態」。物体的移動狀態或靜止狀態不是絕對的，而是取决于所選擇的參考系：對於某參考系，處於靜止狀態的質點，對於另一個參考系，可能處於移動狀態。例如，假設在一列行驶的火車內有一位乘客坐在座位上不动。相對於火車，這乘客處於靜止狀態；但相對於火車外面的山嶺，這乘客處於移動狀態。

路徑、路徑距離、位移
一個質點的移動「路徑」是從初始點移動到終結點所經過的軌跡。假設這初始點就是終結點，而移動時，其它每一個經過的點都只經過一次，則稱此路徑為「閉合迴路」。

路徑的樣子與參考系的選擇有關。對於某參考系，路徑可能是直線；對於另一個參考系，同樣的路徑可能是曲線。

位移向量表達兩點之間位置的向量差。它可以表達一個質點在某時間間隔內由於運動而造成的位置改變。假設，點P的位置為 \mathbf{r}_P = (x_P,y_P,z_P) ，點Q的位置為 \mathbf{r}_Q = (x_Q,y_Q,z_Q) ，則從點Q到點P的位移 \mathbf{r}_{P/Q} 為
:\mathbf{r}_{P/Q} = \mathbf{r}_P - \mathbf{r}_Q = (x_P - x_Q,y_P - y_Q,z_P - z_Q) 。

位移向量的大小是點P與點Q之間的最短距離。位移向量與位置向量不同，位移向量不會因為選擇不同的參考系而改變。但是，在相對論裏，假設兩個參考系的相對速度不為零，則分別從這兩個參考系測量得到的位移向量也不相等。
距離是一種純量，表達一個質點從某一位置移動到另外一位置，所經過的路徑的長度。例如，一部跑車從初始點行駛到終結點，一共行駛了10公里距離的路程。但是，假若這路程是個閉合迴路，初始點與終結點相同，則這跑車的最終位移的大小（徑向距離）是０，這跑車最終回到了初始點。

假設質點的位置是時間的函數，\mathbf{r} =\mathbf{r}(t) ，則從時間 t_1 到時間 t_2 ，這質點所移動的距離 s 為
:s = \int_{t_1}^{t_2} |\mathrm{d}\mathbf{r}| = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}s =\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2} = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)^2}\; \mathrm{d}t 。

這方程式應用到一個論據：在一段無窮小時間間隔內，位移的大小等於經過的路徑的長度。這論據類似於幾何論據：曲線的一段無窮小曲弧與對應這曲弧的直弦重疊在一起。

速度、加速度
平均速度是在一段時間間隔內的速度的平均值，以方程式定義為
: \overline{\mathbf{v}} = \frac {\Delta \mathbf{r}}{\Delta t} ；

其中，\overline{\mathbf{v}} 是平均速度，\Delta \mathbf{r} 是質點的位移，\Delta t 是時間間隔。

由於時間間隔 \Delta t 大於零，平均速度 \overline{\mathbf{v}} 與位移 \Delta \mathbf{r} 同向。

速度是一種向量，表達隨著時間的演進而發生的位移改變。瞬時速度定義為，當 \Delta t 變得越來越小時，平均速度 \overline{\mathbf{v}} 的極限值。注意到，在這裏，\Delta \mathbf{r} 與 \Delta t 都會趨向於零，但是它們的比例 \overline{\mathbf{v}} 會趨向於非零極限 \mathbf{v} ：
: \mathbf{v}\ \stackrel{def}{=}\ \lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta\mathbf{r}}{\Delta t} = \frac {\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} 。

以微分形式定義，速度是位移對於時間的導數。由於無窮小位移 \mathrm{d}\mathbf{r} 正切於實際路徑，速度也正切於實際路徑。

速率 v 是速度的數值大小，是一種純量：
: v=|\mathbf{v}| = \left|\frac {\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \right| = \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} 。

一個質點移動所經過的路程随时间單調遞增，因此 \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} 即速率为非負數。

平均加速度是在一段時間間隔內的加速度的平均值，以方程式定義為
: \overline{\mathbf{a}} = \frac {\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}；

其中，\overline{\mathbf{a}} 是平均加速度，\Delta \mathbf{v} 是質點在微小時間間隔 \Delta t 內的微小速度改變。

加速度是一種表達質點移動速度隨著時間的演進而改變的向量。瞬時加速度定義為當 \Delta t 趨向於零時，平均加速度的極限值，以方程式表達，
: \mathbf{a}\ \stackrel{def}{=}\ \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} = \frac {\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d} t} 。

以微分形式定義，加速度是速度對於時間的導數。

上述速度和加速度的定義式可以逆反過來，以積分形式表達為
:\mathbf{v}(t) =\mathbf{v}_0 + \int_{t_0}^t \mathbf{a}(t) \ \mathrm{d}t 、
:\begin{align}
\mathbf{r}(t) &=\mathbf{r}_0 + \int_{t_0}^t \mathbf{v}(t) \ \mathrm{d}t \\
&= \mathbf{r}_0 + \mathbf{v}_0 t + \int_{t_0}^t \left[\int_{t_0}^{t} \mathbf{a}(t) \mathrm{d}t \right]\ \mathrm{d}t \\
\end{align}；

其中，t_0 是初始時間，\mathbf{v}_0 是初始速度， \mathbf{r}_0 是初始位置。

相對運動
假設，已知質點P、質點Q對於某參考點G的相對運動，應用向量代數，就可以描述質點P對於質點Q的相對運動。假設，從某參考系觀測，質點P、質點Q、參考點G的位置分別為 \mathbf{r}_P 、 \mathbf{r}_Q 、 \mathbf{r}_G ，則質點P、質點Q對於參考點G的相對位置分別為
: \mathbf{r}_{P/G} = \mathbf{r}_P - \mathbf{r}_G 、
: \mathbf{r}_{Q/G} = \mathbf{r}_Q - \mathbf{r}_G 。

質點P對於質點Q的相對位置為
: \mathbf{r}_{P/Q}= \mathbf{r}_P - \mathbf{r}_Q=\mathbf{r}_P - \mathbf{r}_G- \mathbf{r}_Q + \mathbf{r}_G=\mathbf{r}_{P/G} - \mathbf{r}_{Q/G} 。

換句話說，質點P對於參考點G的相對位置為
:\mathbf{r}_{P/G} = \mathbf{r}_{P/Q} + \mathbf{r}_{Q/G} 。

上述這些位移關係式，通過取時間導數，可以得到速度關係式：

: \mathbf{v}_{P/Q}= \mathbf{v}_{P}-\mathbf{v}_{Q} 。

取時間導數於這些速度關係式，可以得到加速度關係式：

: \mathbf{a}_{P/Q}= \mathbf{a}_P - \mathbf{a}_Q 。

特別注意，當速度接近光速時，上述這些位移關係式或速度關係式並不正確，必須改用狹義相對論推導出的關係式計算。

直线运动
在直线运动中，質點沿着直线移动。如果将一个一维坐标系的坐标轴放在这直线上，那麼，就可以用其坐标来設定位置，从而计算出速度和加速度等等。假设，在时间是 t 时，質點P的位置是 x ；经过 \Delta t 时间间隔后，时间是 t+\Delta t ，質點P的位置是 x+\Delta x 。那麼，位移是 \Delta x 。質點P的平均速度 \overline{v} 和瞬时速度 v 分别为∶
:\overline{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t} 、
:v=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} 。

質點P的平均加速度 \overline{a} 和瞬时加速度 a 分别为：
:\overline{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t} 、
:a=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t} 。

假設，質點P的位置是時間的函數 x=x(t) ，則其速度、加速度分別為
:v(t)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} 、
:a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} 。

等速直线运动的加速度是零，速度 v 是常数，位置是
:x_f=x_i+vt ；

其中，x_i 是初始位置，x_f 是终结位置。

等加速直线运动的加速度 a 是常数，位移与速度分別是
:x_f - x_i = v_i t + \frac{1}{2} at^2 、
:x_f - x_i = \frac{1}{2} (v_f + v_i)t 、
:v_f = v_i + a t 、
:v_f^2 = v_i^2 + 2 a (x_f - x_i) ；

其中，x_i 是初始位置，x_f 是终结位置，v_i 是初始速度，v_f 是终结速度。

实例：等加速直线运动
思考一个向上发射的物体；它将以一定初速度上升，减速到静止后再加速落回到地面。若不计空气阻力，且规定竖直向上为正方向，则该物体将以 -9.81m/s2的匀加速度直线运动。那么它会在空中运动多久？在它开始往下落以前，它会升到多高？当它碰到地面时，它的最终速度是多少？假设物体的最初速度是 50 m/s。

它会在空中多久？
應用位移公式来計算时间：
:x_f=x_i+v_it+\frac{1}{2}at^2

因为这物体先飞离开地面，然后又落回到地面，净位移是零：
:0 = v_i t + \frac{1}{2} at^2 = t(v_i + \frac{1}{2} at)

从这程式，可以求解到两个答案。第一个答案是零；虽然这明显解是正确的答案；但是，它代表的时间间隔是那物体开始移动前的时间间隔。离开地面与回到地面所需要的时间為
:t = -\frac{2v_i}{a} = -\frac{2*50}{-9.81} = 10.2 \ s

在它开始往下落以前，它会飞到多高呢？

当这物体升到最高点的时候，它的速度是零。所以可以應用速度平方公式，
:v_f^2 = v_i^2 + 2 a (x_f - x_i)

假設以地面为座标系统的原点，那麼，x_i是零。x_f 则是最高高度：
:x_f = \frac{v_f^2 - v_i^2}{2 a} + x_i = \frac{0-50^2}{2*-9.81}+0 = 127.55 \ m

当它碰到地面时，它的最终速度会是多少？

正当这物体从最高点往回落的时候，它的速度是零。因此，可以同样的用速度平方公式。代入 x_i 的值 127.55m：
:v_f=\sqrt{v_i^2+2a(x_f-x_i)}=\sqrt{0^2+2(-9.81)(0-127.55)}=50\ m/s

注意到初始速度与最终速度大小相等，这符合能量守恒定律。

曲线运动
定义質點在空间中沿着曲线的運动为「曲线运动」。曲线运动的位置、速度、加速度等等，皆须用向量来表示。参考右图，假设質點在时间 t 的位置是 \mathbf{r}(t) ；在间隔 \Delta t 时间后，位移是 \Delta \mathbf{r} 、位置是 \mathbf{r}(t+\Delta t) ，则質點的速度是
:\mathbf{v}=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} 。

在 \Delta t\to 0 极限得到的速度向量，正切曲线于質點的位置。

定义速率为速度的大小。假设这曲线从 \mathbf{r} 到 \mathbf{r}+\Delta \mathbf{r} 的路径长度是 \Delta s ，则速率为
:v=\begin{vmatrix}\mathbf{v}\end{vmatrix}=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} 。

假设質點在间隔 \Delta t 时间的速度差是 \Delta \mathbf{v} ，则加速度是
:\mathbf{a}=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} 。

求解曲线运动问题时，选择合适的坐标系是一项非常重要的步骤。运动所遭遇到的约束、或作用力的几何特性，往往是决定合适坐标的主要因素。假设，限制一粒串珠只能绕圆环移动，那麼，以圆心为顶点，包含串珠与圆环的另一点的角，其角弧可能是合适的坐标。类似地，假设施加於質點的作用力是连心力，則合适的坐标系可能是极坐标系。

直角坐标系
三维空间的直角坐标系有三个坐标轴：x-轴、y-轴、z-轴。采用直角坐标系，位置、速度、加速度表示为
:\mathbf{r}=x\hat{\mathbf{x}}+y\hat{\mathbf{y}}+z\hat{\mathbf{z}} 、
:\mathbf{v}=v_x\hat{\mathbf{x}}+v_y\hat{\mathbf{y}}+v_z\hat{\mathbf{z}} 、
:\mathbf{a}=a_x\hat{\mathbf{x}}+a_y\hat{\mathbf{y}}+a_z\hat{\mathbf{z}} ；

其中，x 、y 、z 分别是質點的位置的三个分量，速度和加速度的三个分量分别为
:v_x=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\ \ , \qquad \qquad v_y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\ \ ,\qquad \qquad v_z=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} ，
:a_x=\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}\ , \qquad\qquad a_y=\frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t}\ ,\qquad \qquad a_z=\frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t} 。

极坐标系
在二维空间裡，极坐标系用半径坐标 r 、角坐标 \theta 来表示質點的位置。半径坐标是極點与質點的直线距离；角坐标是極點与質點的连线对於极轴的角弧。位置、速度、加速度分别表示为
:\mathbf{r}=r\hat{\mathbf{r}} 、
:\mathbf{v}=\dot{r}\hat{\mathbf{r}}+r\dot{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}} 、
:\mathbf{a}=(\ddot{r} - r \dot{\theta}^2)\hat{\mathbf{r}} +(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\boldsymbol{\theta}} ；

其中，\hat{\mathbf{r}} 是半径单位向量，\hat{\boldsymbol{\theta}} 是角单位向量。

質點的「角位置」就是它的角坐标 \theta ，「角位移」 \Delta \theta 则是質點在运动时前後角位置的差值，角速度的大小 \omega 是角位置對於时间的导数 \omega=\dot{\theta} ，角加速度的大小 \alpha 是角速度對於时间的导数：
:\alpha=\dot{\omega}=\ddot{\theta} 。

類似等加速直线运动，假設曲線运动的角加速度 \alpha 是常数，則角位移与角速度分別是
:\theta_f - \theta_i = \omega_i t + \frac{1}{2} \alpha t^2 、
: \theta_f - \theta_i = \frac{1}{2} (\omega_f + \omega_i)t 、
:\omega_f = \omega_i + \alpha t 、
: \omega_f^2 = \omega_i^2 + 2 \alpha (\theta_f - \theta_i) ；

其中，\theta_i 是初始角位置，\theta_f 是终结角位置，\omega_i 是初始角速度，\omega_f 是终结角速度。

实例：等加速曲线运动
如果一个物体不是垂直向上发射，而是与地平面呈 \Phi 角度射出，那麼，这物体会按照抛物线軌跡移动，它的水平运动与垂直运动可以各自独立计算。假设，这物体是以最初速率 v_0=50 m/s ，与地平面呈 \Phi=30^{\circ} 角度射出。

请问在碰到地面以前，它会在空中飞行多远？

垂直方向，这物体会感觉到 -9.81m/s^2 加速度；水平方向，不会感觉到有任何加速度。所以，水平位移是
:\Delta x=x_f-x_i=v_i\cos (\Phi) \ t+\frac{1}{2}at^2=v_i\cos (\Phi)\ t

为要解答这问题，必须找到 t 值。这是可以做到的，只需分析垂直的运动。假设垂直位移为零，用类似前面直线运动的方法来找 t 值：
:0=v_i\sin (\Phi)\ t+\frac{1}{2}at^2=t(v_i\sin (\Phi)+\frac{1}{2}at)
现在求解 t 的表達式，代入原先的水平位移方程式。
:\Delta x=v_i\cos(\Phi)\left(\frac{-2v_i\sin(\Phi)}{a}\right)=-\frac{v_i^2\sin 2(\Phi)}{a}=220.70\ m

二維旋轉參考系
在三維空間內，設定兩個參考系：空間參考系S與旋轉參考系R。空間參考系S的標準正交基為 \hat{\mathbf{x}} 、\hat{\mathbf{y}} 、\hat{\mathbf{z}} 。旋轉參考系R的標準正交基為 \hat{\mathbf{e}}_x 、\hat{\mathbf{e}}_y 、\hat{\mathbf{e}}_z 。兩個參考系的原點共點。空間參考系S靜止不動，旋轉參考系R繞著固定軸 \hat{\mathbf{z}}=\hat{\mathbf{e}}_z 旋轉。四個單位向量 \hat{\mathbf{x}} 、\hat{\mathbf{y}} 、\hat{\mathbf{e}}_x 、\hat{\mathbf{e}}_y 共平面。這旋轉運動可以簡化為一個二維平面運動。

單位向量的時間變化率
當計算質點的位置、速度、加速度之時，必須特別注意到旋轉參考系R是在持續地旋轉，單位向量 \hat{\mathbf{e}}_x 、\hat{\mathbf{e}}_y 也跟著旋轉。在取這些單位向量對於時間的導數時，必須顧慮到旋轉運動。假設 \hat{\mathbf{e}}_x 和 \hat{\mathbf{e}}_y 以角速度 \boldsymbol{\omega}=\omega\hat{z} 繞著 \hat{z} 旋轉，在初始時間 t=0 ，
:\hat{\mathbf{e}}_x=\hat{\mathbf{x}} 、
:\hat{\mathbf{e}}_y=\hat{\mathbf{y}} ，

則在時間 t ，
:\hat{\mathbf{e}}_x=\cos(\omega t)\hat{\mathbf{x}}+\sin(\omega t)\hat{\mathbf{y}} 、
:\hat{\mathbf{e}}_y= - \sin(\omega t)\hat{\mathbf{x}}+\cos(\omega t)\hat{\mathbf{y}} 。

兩個單位向量 \hat{\mathbf{e}}_x 、\hat{\mathbf{e}}_y 對於時間的導數分別為
:\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{e}}_x}{\mathrm{d}t}= - \omega\sin(\omega t)\hat{\mathbf{x}}+\omega\cos(\omega t)\hat{\mathbf{y}}=\omega\hat{\mathbf{e}}_y 、
:\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{e}}_y}{\mathrm{d}t}
= - \omega\cos(\omega t)\hat{\mathbf{x}} - \omega\sin(\omega t)\hat{\mathbf{y}}
= - \omega\hat{\mathbf{e}}_x 。

對於含時向量 \mathbf{F}(t)=f_x\hat{x}+f_y\hat{y}=F_x\hat{\mathbf{e}}_x+F_y\hat{\mathbf{e}}_y ，其對於時間的導數為
:\begin{align}\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right)
& =\dot{f}_x\hat{\mathbf{x}}+\dot{f}_y\hat{\mathbf{y}} \\
& =\dot{F}_x\hat{\mathbf{e}}_x+\dot{F}_y\hat{\mathbf{e}}_y
+F_x\left(\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{e}}_x}{\mathrm{d}t}\right)+F_y\left(\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{e}}_y}{\mathrm{d}t}\right) \\
& =\dot{F}_x\hat{\mathbf{e}}_x+\dot{F}_y\hat{\mathbf{e}}_y
+F_x\omega\hat{\mathbf{e}}_y - F_y\omega\hat{\mathbf{e}}_x \\
& =\dot{F}_x\hat{\mathbf{e}}_x+\dot{F}_y\hat{\mathbf{e}}_y
+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{F} \\
\end{align} 。

設定 \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}=\dot{f}_x\hat{\mathbf{x}}+\dot{f}_y\hat{\mathbf{y}} 、\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{rotate}}=\dot{F}_x\hat{\mathbf{e}}_x+\dot{F}_y\hat{\mathbf{e}}_y 分別為從空間參考系S、旋轉參考系R觀測到的向量 \mathbf{F}(t) 對於時間的導數，上述方程式可以表達為
:\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}=\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{rotate}}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{F} 。

這方程式的叉積項目可以這樣理解：假設向量 \mathbf{F} 的尾部與空間參考系S的原點同點，向量 \mathbf{F} 以角速度 \boldsymbol{\omega} 繞著固定軸 \hat{\mathbf{z}} 旋轉，則向量 \mathbf{F} 的頭部的速度是 \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{F} 。

向量 \mathbf{F}(t) 是任意向量，因此可以將 \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}} 、\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{rotate}} 當作算符，這樣，對應的算符方程式的形式為：
:\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{rotate}}+\boldsymbol{\omega}\times 。

位置、速度、加速度
假設，從空間參考系S觀測，質點P的位置為
:\mathbf{r}= x_S \ \hat{\mathbf{x}}+ y_S \ \hat{\mathbf{y}} ，

而從旋轉參考系R觀測，同一質點P的位置為
:\mathbf{r} = x_R\ \hat{\mathbf{e}}_x + y_R\ \hat{\mathbf{e}}_y 。

從空間參考系S觀測，質點P的速度 \mathbf{v}= \dot{x}_S \ \hat{\mathbf{x}}+ \dot{y}_S \ \hat{\mathbf{y}} 為
:\mathbf{v}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}
= \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{rotate}}
+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}
= \mathbf{v}_R + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} ；

其中，\mathbf{v}_R\ \stackrel{def}{=}\ \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{rotate}}=\dot{x}_R\ \hat{\mathbf{e}}_x+\dot{y}_R\ \hat{\mathbf{e}}_y 是從旋轉參考系R觀測到的質點P的速度。

質點P的加速度為
:\begin{align}\mathbf{ a} & \ \stackrel{def}{=}\ \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}} \\
& =\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_R}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}
+\left(\frac{\mathrm{d}(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}} \\
& =\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_R}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}
+\left(\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}\times\mathbf{r}
+\boldsymbol{\omega}\times\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}} \\
& =\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_R}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}
+\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}
+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v} \\
\end{align} ；

其中，\boldsymbol{\alpha}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}=\dot{\omega}\hat{\mathbf{z}} 是從空間參考系S觀測到的旋轉參考系R的角加速度。

應用算符方程式，
:\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_R}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}
=\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_R}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{rotate}}
+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}_R
=\mathbf{a}_R+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}_R
；

其中，\mathbf{a}_R\ \stackrel{def}{=}\ \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_R}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{rotate}}=\ddot{x}_R\ \hat{\mathbf{e}}_x+\ddot{y}_R\ \hat{\mathbf{e}}_y 是從旋轉參考系R觀測到的質點P的加速度。

總合起來，質點P的加速度 \mathbf{a}= \ddot{x}_S \ \hat{\mathbf{x}}+ \ddot{y}_S \ \hat{\mathbf{y}} 是
:\mathbf{a} = \mathbf{a}_R + 2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_R +
\boldsymbol{\alpha} \times \mathbf{r} +
\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) 。

這方程式右手邊第一個項目是從旋轉參考系R觀測到的質點P的加速度項目，第二個是科里奧利力項目，第三個是從空間參考系S觀測到的旋轉參考系R的角加速度項目，第四個是向心力項目。

刚体运动学
位置与其取向（最多有六个自由度）。]]

在物理学裏，理想刚体是一種有限尺寸，可以忽略形变的固体。不论是否感受到外力，在刚体內部，点与点之间的距离都不会改变。根據相對論，這種物體不可能實際存在，但物體通常可以假定為完美剛體，前提是必須滿足運動速度超小於光速的條件。

剛體是由一群數量超多的質點組成。實際而言，不可能精確地追蹤其中每一個質點的運動。為了簡化運算，通常，整個剛體的空間位形可以簡易地以參數設定：
#剛體的「位置」：挑選剛體內部一點G來代表整個剛體，通常會設定物體的質心或形心為這一點。從空間參考系S觀測，點G的位置就是整個剛體在空間的位置。位置可以應用向量的概念來表示：向量的起點為參考系S的原點，終點為點G。
#剛體的取向：描述剛體取向的方法有好幾種，包括方向餘弦、歐拉角、四元數等等。這些方法設定一個附體參考系B的取向（相對於空間參考系S）。附體參考系是固定於剛體的參考系。相對於剛體，附體參考系的取向固定不變。由於剛體可能會呈加速度運動，所以附體參考系可能不是慣性參考系。空間參考系是某設定慣性參考系，例如，在觀測飛機的飛行運動時，附著於飛機場控制塔的參考系可以設定為空間參考系，而附著於飛機的參考系則可設定為附體參考系。

歐拉旋轉定理
歐拉旋轉定理表明，在三維空間裏，假設約束剛體內部一點固定不動，則其任意位移等價於繞著某固定軸的一個旋轉，而這固定軸必包含這固定點。換句話說，設定附體參考系B的原點為這固定點，則附體參考系B不會因為這位移而涉及任何平移運動，這位移等價於繞著某固定軸的一個旋轉。。
*單擺：將一根無伸縮性繩子的一端固定，另外一端繫住一個錘。這就形成了一個簡單擺。在基礎動力學裏，簡單擺問題研究錘的擺動運動跟繩子長度、錘重量之間的關係。
*溜溜球：在兩片圓盤之間連結的捲軸，繫著一根無伸縮性繩子。這就是古今中外、廣為流行的溜溜球玩具。
*懸鏈線：將無伸縮性繩子的兩端分別固定於兩點，由於均勻引力作用於繩子的每一部份而形成的曲線形狀稱為懸鏈線。

参见
*質點運動實例
*力学

註釋
參考文獻
延伸阅读
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外部連結
*[http://www.phy.hk/wiki/chinesehtm/Kinematics.htm 一維勻加速運動學Java模擬]
*[http://phy.hk/DSE/negativea.pdf 負加速度代表減速嗎？]
*[http://dspace-local.library.cornell.edu/web_archive/explore.cornell.edu/scene7b29.html?scene=Digital%20Library%20of%20Kinematics 康乃爾大学运动学数位图书馆]
*教育部進修網站：[https://web.archive.org/web/20080325153912/http://elearning.stut.edu.tw/mechanical/Dynamics/index.htm 運動學]