动能

（位能）亦不相同。]]
动能 （）是物體因為具有速率而擁有的能量，其大小等於把物體從靜止加速到某個速率所需做的功。由于运动是相对的，动能也是相对于某参照系而言。同一物体在不同的参照系会有不同的速率，也就是有不同的动能。动能的国际单位是焦耳（J），以基本单位表示是千克米平方每秒平方（kg·m2·s−2）。一个物体的动能只有在速率改变时才会改变。

经典力学
在经典力学，一个质点（一个很小的物体，它的大小基本可以忽略）或者一个没有自转的刚体的动能、速率与质量的关系是：
:E_k = \frac{1}{2}mv^2

其中E_k代表动能，m代表质量，v代表速率。

而当一个物体的质量不变，一个物体平移的动能、速率与质量的关系亦同上。

一个物体的动能与動量的关系为：
:E_k = \frac{p^2}{2m}

其中E_k代表动能，p代表动量的数值及m代表质量。

推导与定义
我们可选择任意一个惯性参考系来考虑动能。一个物体原来静止，在受到作用力之后便加速。它所得到的动能是总共的作用力对它所做的功。

:W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}

其中W代表功，\vec{F}代表物体所受到的总共的作用力，\vec{s}代表物体的位移。

根据牛顿第二定律，

:\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}

其中\vec{F}代表力，\vec{p}代表动量，t代表时间。

动量、速度与质量的关系为：

:\vec{p}=m\vec{v}

其中\vec{p}代表动量，m代表质量，\vec{v}代表速率。

在牛顿力学中，一个物体的质量不随速率的改变而改变。

:W = \int \frac{d\vec{p}}{dt} \cdot d\vec{s} = \int m \frac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{s} = \int m \vec{v} \cdot d\vec{v} =\frac{1}{2} \int m d (\vec{v} \cdot \vec{v}) = \frac{1}{2}mv^2 + C_0

其中W代表功，\vec{p}代表动量，t代表时间，\vec{v}代表速度，v代表速率，m代表质量，C_0代表不定常数。当物体的速率为零时，其动能亦为零。因此，

:E_k = \frac{1}{2}mv^2

其中E_k代表动能，m代表质量及v代表速率。

自转的物体
如果一个物体自转，它便有自转动能。自转动能是它的每一质点的平移动能的和。

:E_r = \frac{1}{2} \int v^2 dm = \frac{1}{2} \int r^2 \omega^2 dm = \frac{1}{2} \omega^2 \int r^2 dm = \frac{1}{2} I \omega^2

其中E_r代表自转动能，v代表速率，\omega代表角速度，m代表质量及r代表质点到旋转轴间的距离。

相对论
在狭义相对论中，我们必须改变线性动量的表达式。

使用m表示静止质量，\mathbf{v}和v分别表示物体的速度和速率， 而c表示真空中的光速，我们假设线性动量\mathbf{p}=m\gamma \mathbf{v}， 其中\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}

分部积分得到

:E_\text{k} = \int \mathbf{v} \cdot d \mathbf{p}= \int \mathbf{v} \cdot d (m \gamma \mathbf{v}) = m \gamma \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} - \int m \gamma \mathbf{v} \cdot d \mathbf{v} = m \gamma v^2 - \frac{m}{2} \int \gamma d (v^2)
回忆\gamma = (1 - v^2/c^2)^{-1/2}\!，我们得到：
:\begin{align}
E_\text{k} &= m \gamma v^2 - \frac{- m c^2}{2} \int \gamma d (1 - v^2/c^2) \\
&= m \gamma v^2 + m c^2 (1 - v^2/c^2)^{1/2} - E_0
\end{align}
其中E_0作为积分常数。
于是:
:\begin{align}
E_\text{k} &= m \gamma (v^2 + c^2 (1 - v^2/c^2)) - E_0 \\
&= m \gamma (v^2 + c^2 - v^2) - E_0 \\
&= m \gamma c^2 - E_0
\end{align}
通过观察\mathbf{v }= 0 , \ \gamma = 1\! 且 E_\text{k} = 0 \!，得到积分常数E_0应为
:E_0 = m c^2 \,
并给出通常的公式
:E_\text{k} = m \gamma c^2 - m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - m c^2

極限
:\lim_{v\rightarrow c}E_\text{k}=\infty
當速度趋向光速，動能趋向無限，因此限制了速度的上限為光速，體現了相對論的自恰性。

利用泰勒公式：
:
\begin{align}
E_\text{k} &= \frac{m c^2}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} - m c^2\\
&= mc^2 (1 + \frac{1}{2} v^2/c^2 + \frac{3}{8} v^4/c^4 +\cdots) - m c^2\\
&= mc^2 + \frac{mv^2}{2} + \frac{3}{8}{mv^4/c^2} + \cdots - m c^2\\
&\approx \frac{1}{2} m v^2
\end{align}

低速情況下，相對論中的表達式趨向於經典力學中的表達式。

參見

• 势能（又称“-{位能}-”）
• 机械能
• 能量
• 相对论
• 牛顿运动定律

参考文献