黎納-維謝勢

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在電動力學裏，黎納-維謝勢指的是移動中的帶電粒子的推遲勢。從馬克士威方程組，可以推導出黎納-維謝勢；而從黎納-維謝勢，又可以推導出一個移動中的帶電粒子所生成的含時電磁場。但是，黎納-維謝勢不能描述微觀系統的量子行為。

於1898年，艾密·維謝}-於1900年，分別獨立地研究求得黎納-維謝勢的公式。於1995年，Ribarič和Šušteršič正確計算出移動中的偶極子和四極子的推遲勢。

歷史重要性
經典電動力學的研究，關鍵地助導阿爾伯特·愛因斯坦發展出相對論。愛因斯坦細心地分析黎納-維謝勢和電磁波傳播，所累積的心得，引領他想出在狹義相對論裏對於時間和空間的概念。經典電動力學表述是一個重要的發射台，使得物理學家能夠飛航至更複雜的相對論性粒子運動的學術領域。

雖然經典電動力學表述的黎納-維謝勢，可以很準確地描述，獨立移動中的帶電粒子的物理行為，但是在原子層次，這表述遭到嚴峻的考驗，無法給出正確地答案。為此緣故，物理學家感到異常困惑，因而引發了量子力學的創立。

對於粒子發射電磁輻射的能力，量子力學又添加了許多新限制。經典電動力學表述，表達於黎納-維謝勢的方程式，明顯地違背了實驗觀測到的現象。例如，經典電動力學表述所預測的，環繞著原子不停運動的電子，由於連續不斷地呈加速度狀態，應該會不停地發射電磁輻射；但是，實際實驗觀測到的現象是，穩定的原子不會發射任何電磁輻射。經過研究論證，物理學家發現，電磁輻射的發射完全源自於電子軌域的離散能級的躍遷（參閱波耳原子）。在二十世紀後期，經過多年的改進與突破，量子電動力學成功地解釋了帶電粒子的放射行為。

物理理論
假設，從源頭位置\mathbf{r}'\,\!往檢驗位置\mathbf{r}\,\!發射出一束電磁波，而這束電磁波在檢驗時間t\,\!抵達觀測者的檢驗位置\mathbf{r}\,\!，則這束電磁波發射的時間是推遲時間t_r\,\!。由於電磁波傳播於真空的速度是有限的，觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間t\,\!，會不同於這電磁波發射的推遲時間t_r\,\!。推遲時間 t_r\,\!定義為檢驗時間t\,\!減去電磁波傳播的時間：
:t_r\ \stackrel{def}{=}\ t - \frac{c}\,\!；

其中，c\,\!是光速。

推遲時間的概念意味著電磁波的傳播不是瞬時的。電磁波從發射位置傳播到終點位置，需要一段傳播期間，稱為時間延遲。與日常生活的速度來比，電磁波傳播的速度相當快。因此，對於小尺寸系統，這時間延遲，通常很難察覺。例如，從開啟電燈泡到這電燈泡的光波抵達到觀測者的雙眼，所經過的時間延遲，只有幾兆分之一秒。但是，對於大尺寸系統，像太陽照射陽光到地球，時間延遲大約為8分鐘，可以經過實驗偵測察覺。

表達方程式
假設，一個移動中的帶電粒子，所帶電荷為q\,\!，隨著時間t\,\!而改變的運動軌道為\mathbf{w}(t)\,\!。設定向量\boldsymbol{\mathfrak{R}}\,\!為從帶電粒子位置\mathbf{r}'=\mathbf{w}(t)\,\!到檢驗位置\mathbf{r}\,\!的分離向量：
:\boldsymbol{\mathfrak{R}}=\mathbf{r} - \mathbf{r}'=\mathbf{r} - \mathbf{w}(t)\,\!。

則黎納-維謝純量勢\Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!和黎納-維謝向量勢\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\,\!分別以方程式表達為
:\Phi(\mathbf{r},\,t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q c}{\mathfrak{R} c - \boldsymbol{\mathfrak{R}}\cdot \mathbf{v}}\,\!、
:\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t) =\frac{\mathbf{v}}{c^2}\Phi(\mathbf{r},\,t)
\,\!；

其中，\epsilon_0\,\!是真空電容率，\mathbf{v}\,\!是帶電粒子的移動速度，\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{w}}{dt}\,\!。

雖然黎納-維謝純量勢\Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!和黎納-維謝向量勢\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\,\!的時間參數是t\,\!，方程式右手邊的幾個變數，帶電粒子位置\mathbf{r}'\,\!和速度\mathbf{v}\,\!都是採推遲時間t_r\,\!時的數值：
:\mathbf{r}'=\mathbf{w}(t_r)\,\!、
:\mathbf{v}=\mathbf{v}(t_r)\,\!。

推導
從推遲勢，可以推導出黎納-維謝勢。推遲純量勢\Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!與推遲向量勢\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\,\!分別以方程式定義為（參閱推遲勢）
:\Phi(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\mathfrak{R}}\, d^3\mathbf{r}'\,\!、
:\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathcal{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)}{\mathfrak{R}}\, d^3\mathbf{r}'\,\!；

其中，\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)\,\!和\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)\,\!分别是推迟时刻的电荷密度和電流密度，\mathcal{V}'\,\!是積分的體空間，d^3\mathbf{r}'\,\!是微小體元素，\mathfrak{R}\,\!向量還是採推遲時間 t_r\,\!時的數值。

帶電粒子運動軌道的電荷密度可以用狄拉克δ函數表達為
:\rho(\mathbf{r},\,t)=q\delta(\mathbf{r} - \mathbf{w}(t))\,\!；

其中，\delta(\mathbf{r} - \mathbf{w}(t))\,\!是狄拉克δ函數。

代入推遲純量勢\Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!的方程式，
:\Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}'} \frac{\delta(\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r))}{\mathfrak{R}}\, d^3\mathbf{r}'\,\!。

由於狄拉克δ函數\delta(\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r))\,\!的積分會從\mathbf{r}'\,\!的可能值中，挑選出當\mathbf{r}'=\mathbf{w}(t_r)\,\!時，所有變數的數值。所以，在積分內的變數，都可以被提出積分，採推遲時間\mathbf{r}'=\mathbf{w}(t_r)\,\!時所計算出的數值。積分內，只剩下狄拉克δ函數等待進一步處理：
:\Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \delta(\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r))\, d^3\mathbf{r}'\,\!。

由於推遲時間t_r\,\!跟三個變數t\,\!、\mathbf{r}\,\!、\mathbf{r}'\,\!有關，這積分比較難計算，需要使用換元積分法。設定變數\boldsymbol{\eta}=\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r)\,\!。那麼，其雅可比行列式\mathfrak{J}\,\!為
:\mathfrak{J}=\cfrac{\partial \boldsymbol{\eta}}{\partial \mathbf{r}'}
=\begin{vmatrix}
\cfrac{\partial \eta_x}{\partial x'} & \cfrac{\partial \eta_x}{\partial y'} & \cfrac{\partial \eta_x}{\partial z'} \\
\cfrac{\partial \eta_y}{\partial x'} & \cfrac{\partial \eta_y}{\partial y'} & \cfrac{\partial \eta_y}{\partial z'} \\
\cfrac{\partial \eta_z}{\partial x'} & \cfrac{\partial \eta_z}{\partial y'} & \cfrac{\partial \eta_z}{\partial z'} \\
\end{vmatrix}\,\!。

行列式內分量很容易計算，例如：
:\cfrac{\partial \eta_x}{\partial x'}=1 - \cfrac{\partial w_x}{\partial x'}=1 - \cfrac{\partial w_x}{\partial t_r}\ \cfrac{\partial t_r}{\partial x'}=1 - v_x\cfrac{\partial t_r}{\partial x'}\,\!、
:\cfrac{\partial \eta_y}{\partial x'}=\cfrac{\partial w_y}{\partial x'}=\cfrac{\partial w_y}{\partial t_r}\ \cfrac{\partial t_r}{\partial x'}=v_y\cfrac{\partial t_r}{\partial x'}\,\!。

按照上述方法，經過一番計算，可以得到
:\mathfrak{J}=1 - \mathbf{v}\cdot\nabla' t_r= 1 - \hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\cdot\mathbf{v}/c\,\!。

所以，推遲純量勢\Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!的方程式變為
:\Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \delta(\boldsymbol{\eta})\cfrac{\partial \mathbf{r}'}{\partial \boldsymbol{\eta}}\, d^3\boldsymbol{\eta}
=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \cfrac{\delta(\boldsymbol{\eta})}{\mathfrak{J}}\, d^3\boldsymbol{\eta}
=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \cfrac{\delta(\boldsymbol{\eta})}{1 - \hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\cdot\mathbf{v}/c}\, d^3\boldsymbol{\eta}
\,\!。

這樣，可以得到黎納-維謝純量勢：
:\Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q c}{\mathfrak{R} c - \boldsymbol{\mathfrak{R}}\cdot \mathbf{v}}\,\!。

類似地，也可以推導出黎納-維謝向量勢。

相對論性導引
从推迟势的表达式可以看出它只依赖于推迟时刻源点的速度，而不依赖于源点的加速度，所以通过电磁势的洛仑兹变换也可以推导出黎納-维谢势。考虑一个在推迟时刻瞬时速度与电荷运动速度相同的惯性系，记作S^{\prime}。在S^{\prime}系中，电荷在推迟时刻的速度为零（虽然加速度未必为零），其标势应由库仑定律给出，矢势为零。
:\phi'=\frac{q}{4\pi\epsilon_0 \mathfrak{R}'}、
:A'=0。

标势和矢势从S^{\prime}系到S系的变换满足洛仑兹变换：
:\phi=\gamma (\phi'- c\beta A')、
:A=\gamma (-A'+\beta\phi' /c)；

其中，\gamma是洛仑兹因子，\boldsymbol{\beta}=\mathbf{v}/c。

代入后可以得到：
:\phi =\frac{\gamma q}{4\pi\epsilon_0 \mathfrak{R}'}、
:\boldsymbol{A}=\frac{\gamma q \boldsymbol{\beta}}{4\pi\epsilon_0 \mathfrak{R}'c}。

\mathfrak{R}'和\mathfrak{R}的变换关系也由洛仑兹变换给出：
:\mathfrak{R}'=c\Delta t'=c\gamma(\Delta t - \boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{\mathfrak{R}}/c)=\gamma(\mathfrak{R} - \boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{\mathfrak{R}})
将\mathfrak{R}'的表达式代入即得到黎納-维谢势。

物理意義
對於固定不動的帶電粒子，電勢的方程式為
:\Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q}{\mathfrak{R}}\,\!。

這是黎納-維謝純量勢乘以雅可比行列式因子\mathfrak{J}\,\!。追根究柢，原因是移動中的帶電粒子，雖然理論上是點粒子，但是由於它是在移動中，在積分裏所佔有的體積顯得比較大，所帶的電荷因此比較多，所以產生的電勢不同。这也可以看作是一种多普勒效应。

:\mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)= \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\ \cfrac{\mathfrak{R}}{(\boldsymbol{\mathfrak{R}}\cdot \mathbf{u})^3}
[(c^2 - v^2)\mathbf{u}+\boldsymbol{\mathfrak{R}}\times(\mathbf{u}\times\mathbf{a})]\,\!、
:\mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{c}\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\times\mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)\,\! ;

其中，向量\mathbf{u}\,\!設定為c\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}} - \mathbf{v}\,\!，帶電粒子的加速度是\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}\,\!。

檢查電場\mathbf{E}\,\!的方程式，右邊第一項稱為廣義庫侖場，又稱為速度場，因為這項目與加速度無關。當v\ll c\,\!，粒子速度超小於光速時，\mathbf{u}\to c\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\,\!，這項目會趨向庫侖方程式：
:\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 }\ \frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}^2}\,\!。

右邊第二項稱為輻射場，又稱為加速度場，因為這項目的物理行為主要是由粒子的加速度決定。這個項目能夠描述電磁輻射的生成程序。

參閱
*電磁波方程式
*非齊次的電磁波方程式
*傑斐緬柯方程式
*拉莫方程式
*阿布拉罕-勞侖茲力
*電磁場的數學表述

參考文獻