{{機率分佈
| name = 泊松分布
| type = 質量
| pdf_image =
横轴是索引k，发生次数。该函数只定义在k为整数的时候。连接线是只为了指导视觉。
| cdf_image =
横轴是索引k，发生次数。CDF在整数k处不连续，且在其他任何地方都是水平的，因为服从泊松分布的变量只针对整数值。
| parameters = λ > 0（实数）
| support = k \in \{0, 1, 2, 3, \cdots\}
| pdf = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}
| cdf = \frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor, \lambda)}{\lfloor k\rfloor !}，或e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^i}{i!}\ ，或Q(\lfloor k+1\rfloor,\lambda)
(对于k\ge 0，其中\Gamma(x, y)是不完全Γ函数，\lfloor k\rfloor是高斯符号，Q是规则化Γ函数)
| mean = \lambda
| median = \approx\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor
| mode =
| variance = \lambda
| skewness = \lambda^{-1/2}
| kurtosis = \lambda^{-1}
| entropy = \lambda[1 - \log(\lambda)] + e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\log(k!)}{k!}
（假设\lambda较大）
\frac{1}{2}\log(2 \pi e \lambda) - \frac{1}{12 \lambda} - \frac{1}{24 \lambda^2} -
\qquad \frac{19}{360 \lambda^3} + O\left(\frac{1}{\lambda^4}\right)
| pgf = \exp(\lambda(z - 1))
| mgf = \exp(\lambda (e^{t} - 1))
| char = \exp(\lambda (e^{it} - 1))
}}

泊松分布（；）又稱Poisson分布、-{zh-cn:帕松; zh-tw:泊松; zh-hk:帕松;}-分布、布瓦松分布、布阿松分布、普阿松分布、波以松分布、卜氏分布、帕松小數法則（Poisson law of small numbers），是一種統計與概率學裡常見到的離散機率分布，由法國數學家西莫恩·德尼·泊松在1838年時發表。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、雷射的光子數分布等等。（單位時間內發生的次數，可以看作事件發生的頻率，類似物理的頻率f）。

泊松分布的機率質量函数为：
: P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}

泊松分布的参数\lambda是随机事件发生次数的数学期望值。

记号
若X服从参数为\lambda的泊松分布，记为X \sim \pi(\lambda)，或记为X \sim \text{Poisson}(\lambda).

假设
如果以下假设成立，则适用泊松分布：

k是一个非负整数，是某个事件在某个时间间隔内发生的次数。

一个事件的发生不会影响第二个事件的概率。

事件发生的平均速率与任何事件的发生无关。

两个事件不可能在同一时刻发生。

如果这些条件成立，则k是泊松随机变量；k的分布是泊松分布。

性质

服从泊松分布的随机变量，其数学期望与方差相等，同为参数\lambda : E(X) = V(X)= \lambda

兩個獨立且服从泊松分布的随机变量，其和仍然服从泊松分布。更精確地說，若 X \sim \text{Poisson}(\lambda_1)且 Y \sim \text{Poisson}(\lambda_2)，則X+Y \sim \text{Poisson}(\lambda_1+\lambda_2)。反過來若兩個獨立隨機變量的和服從卜瓦松分布，則這兩個隨機變量經平移後皆服從卜瓦松分布（）。

其動差母函數为：

:M_X(t)=E[e^{tX}]=\sum_{x=0}^\infty e^{tx}\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}=e^{-\lambda}\sum_{x=0}^\infty\frac{({e^t}\lambda)^x}{x!}=e^{{\lambda}(e^t-1)}

推導
期望值：(倒數第三至第二是使用泰勒展開式)

\begin{align}
\Epsilon(X) & =\sum_{i=0}^\infty \displaystyle i P(X = i) \\
& = \sum_{i=1}^\infty \displaystyle i {e^{-\lambda} \lambda^i \over i!} \\
& = \lambda e^{-\lambda} \sum_{i=1}^\infty \displaystyle {\lambda^{i-1} \over (i-1)!} \\
& = \lambda e^{-\lambda} \sum_{i=0}^\infty \displaystyle {\lambda^i \over i!} \\
& = \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} \\
& = \lambda
\end{align}

\begin{align}
\Epsilon(X^2) & =\sum_{i=0}^\infty \displaystyle i^2 P(X = i) \\
& = \sum_{i=1}^\infty \displaystyle i^2 {e^{-\lambda} \lambda^i \over i!}\\
& = \lambda e^{-\lambda} \sum_{i=1}^\infty \displaystyle {i \lambda^{i-1} \over (i-1)!}\\
& = \lambda e^{-\lambda} \sum_{i=1}^\infty \displaystyle {1 \over (i-1)!} {d \over d \lambda}(\lambda ^ i)\\
& = \lambda e^ {- \lambda}{d \over d \lambda}\left[\sum_{i=1}^\infty \displaystyle {\lambda^i \over (i-1)!}\right]\\
& = \lambda e^ {- \lambda}{d \over d \lambda}\left[\lambda \sum_{i=1}^\infty \displaystyle {\lambda^{i-1} \over (i-1)!}\right]\\
& = \lambda e^ {- \lambda}{d \over d \lambda} (\lambda e^{\lambda}) = \lambda e^ {- \lambda} (e^ {\lambda} + \lambda e ^{\lambda}) = \lambda + \lambda^2
\end{align}

我們可以得到：Var(X) = (\lambda + \lambda ^2) - \lambda ^2 = \lambda

如同性質：E(X) = Var(X) = \lambda、\sigma_X = \sqrt{\lambda}

相互獨立的卜瓦松分佈隨機變數之和仍服從卜瓦松分佈：

X\sim \text{Poisson}(\lambda_1), Y\sim \text{Poisson}(\lambda_2).

P(X=k_1)=\dfrac{\lambda_1^{k_1}e^{-\lambda_1}}{k_1!}, P(Y=k_2)=\dfrac{\lambda_2^{k_2}e^{-\lambda_2}}{k_2!}.

\begin{align}
P(X+Y=k) & = \sum_{i=0}^k P(X=i)P(Y=k-i) \\
& = \sum_{i=0}^k \frac{\lambda_1^i \lambda_2^{k-i}e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{i! (k-i)!}\\
& = \frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{k!} \sum_{i=0}^k C_k^i \lambda_1^i \lambda_2^{k-i}\\
& = \frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!}
\end{align}

X+Y\sim \text{Poisson}(\lambda_1+\lambda_2)

泊松分布的来源（泊松小数定律）
在二项分布的伯努利试验中，如果试验次数n很大，二项分布的概率p很小，且乘积\lambda= np比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散時間上的对应物。

证明如下。首先，回顾自然對數e的定义：
:\lim_{n\to\infty}\left(1-{\lambda \over n}\right)^n=e^{-\lambda},

二项分布的定义：
:P(X=k)={n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}。

如果令p = \frac{\lambda}{n}， n趋于无穷时P的极限：

:
\begin{align}

\lim_{n\to\infty} P(X=k)&=\lim_{n\to\infty}{n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \\
&=\lim_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!k!} \left({\lambda \over n}\right)^k \left(1-{\lambda\over n}\right)^{n-k}\\
&=\lim_{n\to\infty}
\underbrace{\left[\frac{n!}{n^k\left(n-k\right)!}\right]}_F
\left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)
\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\to\exp\left(-\lambda\right)}
\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to 1} \\
&= \lim_{n\to\infty}
\underbrace{\left[ \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \ldots \left(1-\frac{k-1}{n}\right) \right]}_{\to 1}
\left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)
\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\to\exp\left(-\lambda\right)}
\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to 1} \\
&= \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)\exp\left(-\lambda\right)
\end{align}

最大似然估計（MLE）
给定n个样本值k_i，希望得到从中推测出总体的泊松分布参数\lambda的估计。为计算最大似然估计值，列出对数似然函数：
:
\begin{align}
L(\lambda) & = \ln \prod_{i=1}^n f(k_i \mid \lambda) \\
& = \sum_{i=1}^n \ln\!\left(\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k_i}}{k_i!}\right) \\
& = -n\lambda + \left(\sum_{i=1}^n k_i\right) \ln(\lambda) - \sum_{i=1}^n \ln(k_i!). \end{align}

:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} L(\lambda) = 0
\iff -n + \left(\sum_{i=1}^n k_i\right) \frac{1}{\lambda} = 0. \!

解得λ从而得到一个驻点（stationary point）：
:\widehat{\lambda}_\mathrm{MLE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n k_i. \!

检查函数L的二阶导数，发现对所有的\lambda与k_i大于零的情况二阶导数都为负。因此求得的驻点是对数似然函数L的极大值点：
:\frac{\partial^2 L}{\partial \lambda^2} = \sum_{i=1}^n -\lambda^{-2} k_i

例子
对某公共汽车站的客流做调查，统计了某天上午10:30到11:47来到候车的乘客情况。假定来到候车的乘客各批（每批可以是1人也可以是多人）是互相独立发生的。观察每20秒区间来到候车的乘客批次，共观察77分钟*3=231次，共得到230个观察记录。其中来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的观察记录分别是100次、81次、34次、9次、6次。使用极大似真估计（MLE），得到\lambda的估计为\frac{81\times 1+34\times 2+9\times 3+6\times 4}{230}\approx 0.87。

生成泊松分布的随机变量
一个用来生成随机泊松分布的数字（伪随机数抽样）的简单算法，已经由高德纳给出（见下文参考）：

algorithm poisson random number (Knuth):
init:
Let L ← e−λ, k ← 0 and p ← 1.
do:
k ← k + 1.
Generate uniform random number u in [0,1] and let p ← p×u.
while p > L.
return k − 1.

尽管简单，但复杂度是线性的，在返回的值k，平均是\lambda。还有许多其他算法来克服这一点。有些人由Ahrens和Dieter给出，请参阅下面的参考资料。同样，对于较大的\lambda值，e^{-\lambda}可能导致数值稳定性问题。对于较大\lambda值的一种解决方案是拒绝采样，另一种是采用泊松分布的高斯近似。

对于很小的\lambda值，逆变换取样简单而且高效，每个样本只需要一个均匀随机数u。直到有超过u的样本，才需要检查累积概率。

algorithm Poisson generator based upon the inversion by sequential search:
init:
Let x ← 0, p ← e−λ, s ← p.
Generate uniform random number u in [0,1].
do:
x ← x + 1.
p ← p * λ / x.
s ← s + p.
while u > s.
return x.

参见

• 泊松过程
• 概率论
• 泊松回归

*概率分布

参考文献
引用
来源
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