狹義相對論
在狹義相對論中，微積分、矩陣為其所用到的主要數學工具，配合閔可夫斯基時空的轉換以及勞倫茲不變量的使用，粗略地描述了時、空的性質。當s'座標系在s座標系沿x軸作等速v運動時，其轉換以以下方程表示：
:x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
:y' = y
:z' = z
:t' = \frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
其具有以下不變形式：
:{c^2}{t^2}-x^2-y^2-z^2 = {c^2}{t'^2}-x'^2-y'^2-z'^2
或者寫成微分形式
:{c^2}{dt^2}-dx^2-dy^2-dz^2 = {c^2}{dt'^2}-dx'^2-dy'^2-dz'^2
在適當地選取座標系可使c = 1
對於牛頓力學中的動量、能量作了以下的修正：
:\mathbf{p} = m\mathbf{v}
:E = mc^2
其中
:m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}，:m_0為物質在靜止下的質量
能量和動量有以下關係：
:E^2 = {\left(pc\right)}^2+{\left(m_0c^2\right)}^2
廣義相對論
狹義相對論僅限於等速、時空可近似平坦地情況下，然而在討論大尺度且有引力場的情況下，就必須使用廣義相對論。
愛因斯坦認為，慣性坐標系並沒有優於其他坐標系，一切的物理定律應在任何參考座標系下皆成立，所有的變換應都是協變的。因此，在其論文中，大量地使用稱之為張量(Tensor)的數學工具，其方程往往是非線性的，因此很難求解。
數學形式
一小段弧長ds平方的不變式
ds^2 = g_{\mu\nu}{dx^\mu}{dx^\nu}
g_{\mu\nu}為度規張量
{dx^\mu}和{dx^\nu}為逆變張量
質點沿測地線運動，測地線方程可以用哈密頓原理或是平行位移(parallel transportation)等方式推導，以下為測地線方程：
\frac{d^2x^\mu}{ds^2}+\Gamma^{\mu}_{\nu\sigma}\frac{dx^\nu}{ds}\frac{dx^\sigma}{ds} = 0
\Gamma^{\mu}_{\nu\sigma}為克里斯多福符號
在非歐式空間中，描述空間曲率的張量為黎曼－克里斯多福張量
R^\beta_{\nu\rho\sigma} =
\frac{\partial\Gamma^{\beta}_{\nu\sigma}}{\partial x^\rho}-
\frac{\partial\Gamma^{\beta}_{\nu\rho}}{\partial x^\sigma}+
\Gamma^{\alpha}_{\nu\sigma}\Gamma^{\beta}_{\alpha\rho}-
\Gamma^{\alpha}_{\nu\rho}\Gamma^{\beta}_{\alpha\sigma}
参考文献
外部連結
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