電荷密度

在電磁學裏，電荷密度是一種度量，用以描述空間中連續電荷的分布狀況。依据討論電磁模型的維度而定，電荷密度可以是線電荷密度、面電荷密度或體電荷密度。

假設電荷分佈於一條曲線或一根直棒子，則其線電荷密度是每單位長度的電荷密度，單位為庫侖／公尺 (coulomb/meter) 。假設電荷分佈於一個平面或一個物體的表面，則其面電荷密度是每單位面積的電荷密度，單位為庫侖／公尺2。假設電荷分佈於一個三維空間的某區域或物體內部，則其體電荷密度是每單位體積的電荷密度，單位為庫侖／公尺3。

由於在大自然裏，有兩種電荷，正電荷和負電荷，所以，電荷密度可能會是負值。電荷密度也可能會跟位置有關。特別注意，不要將電荷密度與電荷載子密度 () 搞混了。

電荷密度與電荷載子的體積有關。例如，由於鋰陽離子的半徑比較小，它的體電荷密度大於鈉陽離子的體電荷密度。

古典電荷密度
假設，一個體積為 V 的載電體，其電荷密度 \rho_0 是均勻的，跟位置無關，那麼，總電荷量 Q 為
:Q=\rho_0 V。

假設，在某一區域內有 N 個離散的點電荷，像電子。那麼，電荷密度可以用狄拉克δ函數來表達為
:\rho(\mathbf{r})=\sum_{i=1}^N\ q_i\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_i) ；

其中， \mathbf{r} 是檢驗位置，q_i 是位置為 \mathbf{r}_i 的第 i 個點電荷的電量。

量子電荷密度
的電子機率密度繪圖。橫排顯示不同的角量子數 (l) ,豎排顯示不同的能級 (n) 。這也是氫原子的負電荷密度圖。氫原子的質子的中心有一個正電性的質子。]]
在量子力學裏，類氫原子的中心有一個正電性的原子核，環繞著原子核四週的一個電子的軌域，其電荷密度可以用波函數 \psi(\mathbf{r}) 表達為

:\rho(\mathbf{r}) = q\cdot|\psi(\mathbf{r})|^2 ；

其中，q 是電子的電荷量。

注意到 |\psi(\mathbf{r})|^2 是找到電子的機率。經過歸一化，在全部空間找到電子的機率是
:\int_{all\ space} |\psi(\mathbf{r})|^2 \mathrm{d}^3{r}=1 ；

例如，氫原子的波函數 \psi_{nlm}(\mathbf{r}) 是
:\psi_{nlm}(\mathbf{r})=R_{nl}(r)Y_l^m(\theta,\,\phi) ；

其中，R_{nl} 是徑向函數，Y_l^m(\theta,\,\phi) 是球諧函數，n 是主量子數，l 是角量子數，m 是磁量子數。

相對論性電荷密度
從相對論的角度來論述，導線的長度與觀察者的移動速度有關，所以電荷密度是一種相對論性觀念。安東尼·法蘭碁（）在他的著作中表明，移動中的電荷密度會產生磁場力，會吸引或排斥其它載流導線。。使用閔可夫斯基圖，法蘭碁闡明，一條中性的載流導線，對於處於移動參考系的觀察者而言，為什麼會貌似載有淨電荷密度。通過時空坐標，研究電磁現象的領域稱為相對論性電磁學（）。

電荷守恆的連續方程式
電荷密度與電流密度之間的關係式為：
:\frac{\partial \rho(\mathbf{r},\,t)}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J}(\mathbf{r},\,t) =0 ；

其中，\mathbf{r} 是位置，t 是時間，\mathbf{J} 是電流密度。

在電磁理論裏，從馬克士威方程組，可以推導出電荷守恆的連續方程式。根據加入位移電流項目後的安培定律
:\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{J} =0 。

電勢和電場
在一個體積區域 \mathbb{V}' 內，源位置 \mathbf{r}' 的電荷密度為 \rho(\mathbf{r}') 的電荷分佈，所產生在場位置 \mathbf{r}\! 的電勢為
:\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}')} \mathrm{d}^3{r}' ；

其中，\mathrm{d}^3{r}' 是微小體積元素。

電場 \mathbf{E} 是電勢的負梯度：
:\mathbf{E}(\mathbf{r})= - \boldsymbol{\nabla} \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \rho(\mathbf{r}')\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \mathrm{d}^3{r}' 。

應用向量關係式
:\boldsymbol{\nabla} \cdot \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}=4\pi \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}') ，

取散度於電場，
:\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r})= - \nabla^2 \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \rho(\mathbf{r}')4\pi \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}') \mathrm{d}^3{r}' ，

可以得到高斯定律的微分形式
:\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0} ，

和帕松方程式
:\nabla^2 \phi(\mathbf{r}) = - \frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0} 。

參閱

• 拉普拉斯方程式
• 恩绍定理
• 格林互反定理 ()

參考文獻
Carga eléctrica#Densidad de carga eléctrica