電位移

在電磁學裏，電位移（）是出現於馬克士威方程組的一種向量場，可以用來解釋介電質內自由電荷所產生的效應。電位移\mathbf{D}以方程式定義為
:\mathbf{D}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \varepsilon_{0} \mathbf{E} + \mathbf{P}；

其中，\varepsilon_{0}是電常數，\mathbf{E}是電場，\mathbf{P}是電極化強度。

概述
高斯定律表明，電場的散度等於總電荷密度\rho_{\text{total}}除以電常數：
:\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho_{\text{total}}/\varepsilon_0。

電極化強度的散度等於負束縛電荷密度 \rho_{\text{bound}}：
:\nabla\cdot\mathbf{P} = - \rho_{bound}。

而總電荷密度等於束縛電荷密度加上自由電荷密度\rho_{free}：
:\rho_{total} =\rho_{free}+\rho_{bound}。

所以，電位移的散度等於自由電荷密度\rho_{free}：
:\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{free}。

這與高斯定律的方程式類似。假設，只給定自由電荷密度\rho_{free}，或許可以用高斯方法來計算電位移\mathbf{D}。但是，在這裏，不能使用這方法。只知道自由電荷密度\rho_{free}，有時候仍舊無法計算出電位移。思考以下關係式：
:\nabla \times \mathbf{D} = \varepsilon_{0}(\nabla \times \mathbf{E}) + (\nabla \times \mathbf{P})。
:並根據法拉第感應定律：\nabla \times \mathbf{E} = -\dot{\mathbf{B}} , 其中\dot{\mathbf{B}}是磁場相對於時間的變化率
:\nabla \times \mathbf{D} + \varepsilon_{0}\dot{\mathbf{B}} = \nabla \times \mathbf{P}
:假設電磁場為不含時變電磁場（即與時間無關的電磁場），\dot{\mathbf{B}}=0，則
:\nabla \times \mathbf{D} = \nabla \times \mathbf{P}。

假若\nabla \times \mathbf{P}\ne 0，則雖然設定\rho_{free}=0，電位移仍舊不等於零：\mathbf{D}\ne 0！

舉例而言，擁有固定電極化強度\mathbf{P}的永電體，其內部不含有任何自由電荷，但是內在的電極化強度\mathbf{P}會產生電場。

只有當問題本身具有某種對稱性，像球對稱性或圓柱對稱性等等，才能夠直接使用高斯方法，從自由電荷密度計算出電位移與電場。否則，必需將電極化強度\mathbf{P}和邊界條件納入考量。

線性電介質
「線性電介質」，對於外電場的施加，會產生線性響應。例如，鐵電材料是非線性電介質。假設線性電介質具有各向同性，則其電場與電極化強度的關係式為
:\mathbf{P}=\chi_e \varepsilon_{0} \mathbf{E}；

其中，\chi_e是電極化率。

將這關係式代入電位移的定義式，可以得到
:\mathbf{D}= (1+\chi_e) \varepsilon_0\mathbf{E}=\varepsilon\mathbf{E}；

其中，\varepsilon是電容率。

所以，電位移與電場成正比；其比率是電容率。另外，
:\nabla\cdot(\varepsilon\mathbf{E})=\rho_{free}。

假設這電介質具有均勻性，則電容率\varepsilon是常數：
:\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho_{free}/\varepsilon。

定義相對電容率\varepsilon_r為
:\varepsilon_r\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \varepsilon/\varepsilon_0。

相對電容率與電極化率有以下的關係：
:\varepsilon_r=1+\chi_e。

要注意的一点是，上式\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}的描述只是一种近似关系，当\mathbf{E}变得很大时，\mathbf{D}与\mathbf{E}就不再成正比关系了。这主要是由于电介质物质的物理特性是很复杂的。也可以理解为，这个式子就像胡克定律一样，只是一种近似。

各向異性線性電介質的電容率是個張量。例如，晶體的電容率通常必需用張量來表示。

應用範例
如右圖所示，平行板電容器是由互相平行、以空間或電介質相隔的兩片平板導體構成的電容器。假設上下兩片平板導體分別含有負電荷與正電荷，含有的電荷量分別為-Q、+Q。又假設兩片平板導體之間的間隔距離超小於平板的長度與寬度，則可以視這兩片平板導體為無限平面；做簡單計算時，不必顧慮邊緣效應。由於系統的對稱性，可以應用高斯定律來計算電位移，其方向必定是從帶正電平板導體指向帶負電平板導體，而且垂直於平板導體；又由於平板導體含有的電荷是自由電荷，不需要知道電介質的性質，就可以應用關於自由電荷的高斯定律來計算電位移。

先計算帶正電平板導體所產生的電位移。試想一個扁長方形盒子，其頂面和底面分別在這平板導體的兩邊，平行於平板導體；而盒子的其它四個側面都垂直於平板導體。根據關於自由電荷的高斯定律，
: \oint_{\mathbb{S}} \mathbf{D}_+ \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} = Q；

其中，\mathbb{S}是扁長方形盒子的閉合表面，\mathbf{D}_+是帶正電平板導體所產生的電位移，d\mathbf{a}是微小面元素。

由於扁長方形盒子的四個側面的面向量都與\mathbf{D}_+向量相垂直，它們對於積分的貢獻是零；只有盒子的頂面和底面對於積分有貢獻：
: 2D_+ A= Q ;

其中，A是盒子頂面、底面的面積。

所以，\mathbf{D}_+向量的方向是從帶正電平板導體垂直地向外指出，大小為
: D_+=Q/2A。

類似地，可以計算出帶負電平板導體所產生的電位移；\mathbf{D}_-向量的方向是垂直地指向帶負電平板導體，大小為
: D_- =Q/2A。

應用疊加原理，可以計算這兩片帶電平板導體一起產生的電位移。在這兩片平板導體之間，\mathbf{D}_+和\mathbf{D}_-的方向相同；應用疊加原理，電位移的大小等於平板導體的表面電荷密度：D =Q/A。在兩片平板導體的共同上方或共同下方，\mathbf{D}_+和\mathbf{D}_-的方向相反；應用疊加原理，電位移的大小等於零。

假設電介質的電容率為\varepsilon，則在兩片平板導體之間，電場的大小為
:E=D/\varepsilon=Q/\varepsilon A。

假設兩片平板導體的間隔距離為d，則電壓V為
:V=Ed=Q d/\varepsilon A。

這平行板電容器的電容C為
:C=Q/V=\varepsilon A/d。

參閱

• 《論法拉第力線》
• 《論物理力線》
• 位移電流
• 電磁波方程式

參考文獻