方塊矩陣，也称方阵、方矩陣或正方矩陣，是行數及列數皆相同的矩陣。由n \times n\,矩陣組成的集合，連同矩陣加法和矩陣乘法，构成環。除了n=1\,，此環並不是交换環。

M(n, R)，即實方塊矩陣環，是個實有单位的結合代數。M(n, C)，即複方塊矩陣環，則是複結合代數。

單位矩陣I_n\,的對角線全是1而其他位置全是0，對所有m \times n\,矩陣M\,及n \times k\,矩陣N\,都有MI_n=M\,及I_nN=N\,。
例如，若n=3\,：
: I_3 =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\,
單位矩陣是方塊矩陣環的單位元。

方塊矩陣環的可逆元稱為可逆矩陣或非奇异方阵。n \times n\,矩陣A\,是可逆當且僅當存在矩陣B\,使得
:AB=I_n(=BA)\,。
此時B\,稱為A\,的逆矩陣，並記作 A^{-1}\,。
所有n\times n\,矩陣在乘法上組成一個群（亦是一個李群），稱為一般線性群。

若數字\lambda\,和非零向量\vec v\,满足A\vec v=\lambda\vec v\,，則\vec v\,為A\,的一個特征向量，\lambda\,是其對應的特征值。數字\lambda\,為A\,的特征值當且僅當A-\lambda I_n\,可逆，又當且僅當p_A(\lambda)=0\,。這裏，p_A(x)\,是A\,的特征多項式。特征多項式是一個n\,次多項式，有n\,个复根（考虑重根），即A\,有n\,個特征值。

方塊矩陣A\,的行列式是其n\,個特征值的積，但亦可經由莱布尼茨公式計算出來。可逆矩陣正好是那些行列式非零的矩陣。

高斯-若爾當消元法非常重要，可以用来計算矩阵的行列式，秩，逆矩陣，并解決線性方程組。

矩陣的迹是n \times n\,矩陣的对角线元素之和，也是其n\,個特征值之和。

所有正交矩阵都是方块矩阵。

方块矩阵的等价命题
线性代数中，下列关于方块矩阵A的命题是等价的（同时成立，或同时不成立）：

A 可逆 ； A的反矩陣存在。

det(A) ≠ 0 。

rank(A) = n 。

Null(A) = 0 。

A的特征值中没有0。

#对任意b属于Fn，*Ax = b有唯一解。

*Ax = 0只有平凡解。

ATA可逆。

A与单位矩阵行（列）等价。

A的行向量或列向量張成Fn 。

A的零空间只有零向量。

A的值域為Fn 。

A的行（列）向量构成Fn (Fn)中向量的线性无关集。

这裡，F为矩阵元素所属的域。通常，这个域为实数域或复数域。

參考資料